Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей

§ 1. Основні поняття

4. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей.

У багатьох задачах доводиться знаходити ймовірність поєднання подій А і В, Якщо відомі ймовірності подій А і В.

Розглянемо наступний приклад. Нехай кинуто дві монети. Знайдемо ймовірність появи двох гербів. Ми маємо 4 рівноймовірно попарно несумісних результату, що утворюють повну групу:

	1-я монета	2-я монета
1-й результат	герб	герб
2-й результат	герб	напис
3-й результат	напис	герб
4-й результат	напис	напис

Таким чином, P (герб, герб) \u003d 1/4.

Нехай тепер нам стало відомо, що на першій монеті випав герб. Як зміниться після цього ймовірність того, що герб з'явиться на обох монетах? Так як на першій монеті випав герб, то тепер повна група складається з двох рівноймовірно несумісних результатів:

	1-я монета	2-я монета
1-й результат	герб	герб
2-й результат	герб	напис

При цьому тільки один з результатів сприяє події (герб, герб). Тому при зроблених припущеннях Р (герб, герб) \u003d 1/2. позначимо через А поява двох гербів, а через В - поява герба на першій монеті. Ми бачимо, що ймовірність події А змінилася, коли стало відомо, що подія B відбулося.

Нову ймовірність події А, В припущенні, що відбулася подія B, Будемо позначати P B (А).

Таким чином, Р (A) \u003d 1/4; P B (А) \u003d 1/2

Теорема множення. Вірогідність поєднання подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія здійснилося, т. Е.

P (AB) \u003d P (A) P A (B)

(4)

Доведення. Доведемо справедливість співвідношення (4), спираючись на класичне визначення ймовірності. Нехай можливі результати Е 1, Е 2, ..., Е N даного досвіду утворюють повну групу рівно можливих попарно несумісних подій, з яких події A сприяють M результатів, і нехай з цих M результатів L результатів сприяють події B. Очевидно, що поєднання подій A і B сприяють L з N можливих результатів випробування. Це дає ; ;
Таким чином,
помінявши місцями A і B, Аналогічно отримаємо
Теорема множення легко узагальнюється на будь-який, кінцеве число подій. Так, наприклад, в разі трьох подій A 1, A 2, A 3 маємо *
У загальному випадку

Зі співвідношення (6) випливає, що з двох рівностей (8) одне є наслідком іншого.

Нехай, наприклад, подія A - поява герба при одноразовому киданні монети, а подія B - поява карти бубновою масті при вийманні карти з колоди. Очевидно, що події A і B незалежні.

У разі незалежності подій A до B формула (4) прийме більш простий вигляд:

* Подія A 1 A 2 A 3 можна уявити як поєднання двох подій: події C \u003d A 1 A 2 і події A 3.

Нерідко в житті ми стикаємося з тим, що потрібно оцінити шанси настання якої-небудь події. Чи варто купувати лотерейний квиток чи ні, який буде пів на третю дитину в сім'ї, чи буде завтра ясна погода чи знову піде дощ - таких прикладів можна навести безліч. У найпростішому випадку слід розділити число сприятливих результатів на загальне число подій. Якщо в лотереї 10 квитків виграшних, а всього їх 50, то шанси отримати приз рівні 10/50 \u003d 0,2, тобто 20 проти 100. А що робити в тому випадку, якщо є кілька подій, і вони тісно пов'язані між собою? У цьому випадку нас буде цікавити вже не проста, а умовна ймовірність. Що це за величина і як її можна порахувати - про це як раз і буде розказано в нашій статті.

поняття

Умовна ймовірність - це шанси настання певної події за умови, що інше пов'язане з ним подія вже відбулася. Розглянемо простий приклад з киданням монетки. Якщо жеребкування ще не було, то шанси випадання орла чи решки будуть однаковими. Але якщо раз п'ять поспіль монетка лягала гербом вгору, то погодьтеся очікувати 6-го, 7-го, а тим більше 10-го повторення такого результату буде нелогічно. З кожним повторним разом випадання орла, шанси появи решки ростуть і рано чи пізно вона-таки випаде.

Формула умовної ймовірності

Давайте тепер розберемося з тим, як ця величина розраховується. Позначимо перша подія через В, а друге через А. Якщо шанси настання У відмінні від нуля, то тоді буде справедливим наступне рівність:

Р (А | В) \u003d Р (АВ) / Р (В), де:

• Р (А | В) - умовна ймовірність підсумку А;
• Р (АВ) - ймовірність спільного появи подій А і В;
• Р (В) - ймовірність події В.

Злегка перетворивши дане співвідношення отримаємо Р (АВ) \u003d Р (А | В) * Р (В). А якщо застосувати то можна вивести формулу твори і використовувати її при довільному числі подій:

Р (А 1, А 2, А 3, ... А п) \u003d Р (А 1 | А 2 ... А п) * Р (А 2 | А 3 ... А п) * Р (А 3 | А 4 ... А п ) ... Р (А п-1 | А п) * Р (А п).

Практика

Щоб було легше розібратися з тим, як розраховується умовна розглянемо кілька прикладів. Припустимо є ваза, в якій знаходяться 8 шоколадних цукерок і 7 м'ятних. За розмірами вони однакові і навмання послідовно витягуються дві з них. Які будуть шанси того, що обидві з них виявляться шоколадними? Введемо позначення. Нехай підсумок А означає, що перша цукерка шоколадна, підсумок В - друга цукерка шоколадна. Тоді вийде наступне:

Р (А) \u003d Р (В) \u003d 8/15,

Р (А | В) \u003d Р (В | А) \u003d 7/14 \u003d 1/2,

Р (АВ) \u003d 8/15 х 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0,27

Розглянемо ще один випадок. Припустимо, є Двухдетная сім'я і нам відомо, що, по крайней мере, одна дитина є дівчинкою.

Яка умовна ймовірність того, що хлопчиків у цих батьків поки немає? Як і в попередньому випадку, почнемо з позначень. Нехай Р (В) - ймовірність того, що в сім'ї є хоча б одна дівчинка, Р (А | В) - ймовірність того, що друга дитина теж дівчинка, Р (АВ) - шанси того, що в сім'ї дві дівчинки. Тепер зробимо розрахунки. Всього може бути 4 різних комбінацій статі дітей і при цьому лише в одному випадку (коли в родині два хлопчики), дівчинки серед дітей не буде. Тому ймовірність Р (В) \u003d 3/4, а Р (АВ) \u003d 1/4. Тоді слідуючи нашій формулі отримаємо:

Р (А | В) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

Інтерпретувати результат можна так: якби нам не було б відомо про поле одного з дітей, то шанси двох дівчаток були б 25 проти 100. Але оскільки ми знаємо, що одна дитина дівчинка, ймовірність того, що в сім'ї хлопчиків немає, зростає до однієї третій.

Визначення 1. Подія А називається залежним від події В, якщо ймовірність появи події А залежить від того, відбулося чи не відбулося подія В. Імовірність того, що відбулася подія А за умови, що відбулася подія В, будемо позначати і називати умовною ймовірністю події А за умови В.

Приклад 1. В урні знаходиться 3 білих кулі і 2 чорних. З урни виймається одна куля (перше виймання), а потім другий (друге виймання). Подія В - поява білої кулі при першому вийманні. Подія А - поява білої кулі при другому вийманні.

Очевидно, що ймовірність події А, якщо подія В відбулася, буде

Імовірність події Л за умови, що подія В не відбулося (при першому вийманні з'явився чорний куля), буде

Бачимо, що

Теорема 1. Імовірність суміщення двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого, обчислену за умови, що перша подія відбулася, т. Е.

Доведення. Доказ наведемо для подій, які зводяться до схеми урн (т. Е. У разі, коли може бути застосовано класичне визначення ймовірності).

Нехай в урні куль, при цьому білих, чорних. Нехай серед білих куль куль з відміткою «зірочка», інші чисто білі (рис. 408).

З урни виймається одна куля. Яка ймовірність події вийняти біла куля з відміткою «зірочка»?

Нехай В - подія, що складається в появі (білої кулі, А - подія, що складається в появі кулі з відміткою «зірочка». Очевидно,

Імовірність появи білої кулі зі «зірочкою за умови, що з'явився біла куля, буде

Імовірність появи білої кулі зі «зірочкою» є Р (А і В). очевидно,

Підставляючи в (5) ліві частини виразів (2), (3) і (4), отримуємо

Рівність (1) доведено.

Якщо розглянуті події не вкладаються в класичну - схему, то формула (1) служить для визначення умовної ймовірності. А саме, умовна ймовірність події А за умови здійснення події В опрёделяется за допомогою

Зауваження 1. Застосуємо останню формулу до вираження:

У равенствах (1) і (6) ліві частини рівні, так як це одна і та ж ймовірність, отже, рівні і праві. Тому можемо написати рівність

Приклад 2. Для випадку прикладу 1, наведеного на початку цього параграфа, маємо За формулою (1) отримуємо Імовірність Р (А і В) легко обчислюється і безпосередньо.

Приклад 3. Імовірність виготовлення гідного вироби даними верстатом дорівнює 0,9. Імовірність появи вироби 1-го сорту серед придатних виробі є 0,8. Визначити ймовірність виготовлення виробу 1-го сорту даними верстатом.

Рішення. Подія В - виготовлення гідного вироби даними верстатом, подія А - поява вироби 1-го сорту. Тут Підставляючи в формулу (1), отримуємо шукану ймовірність

Теорема 2. Якщо подія А може здійснитися тільки при виконанні однієї з подій які утворюють повну групу несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою

Формулд (8) називається формулою повної ймовірності. Доведення. Подія А може відбутися при виконанні будь-якого з суміщених подій

Отже, за теоремою про додавання ймовірностей отримуємо

Замінюючи складові правої частини за формулою (1), отримаємо рівність (8).

Приклад 4. За мети вироблено три послідовних пострілу. Ймовірність влучення при першому пострілі при другому при третьому При одному попаданні ймовірність ураження цілі при двох влучань, при трьох влучань Визначити ймовірність пфаженйя мети при трьох пострілах (подія А).

Ми вже говорили, що в основі визначення ймовірності події лежить деяка сукупність умов. Якщо ніяких обмежень, крім умов, при обчисленні ймовірності не накладається, то такі ймовірності називаються безумовними.

Однак в ряді випадків доводиться знаходити ймовірності подій при додатковому умови, що відбулося деяке подія В, що має не нульову ймовірність, тобто Дані ймовірності ми будемо називати умовними і позначати символом; це означає ймовірність події А за умови, що подія В відбулася.

Приклад 1. Кинуті дві гральні кістки. Чому дорівнює ймовірність того, що сума що випали на них очок дорівнює 8 (подія A), якщо відомо, що ця сума є парне число (подія В)?

Всі можливі випадки, які можуть представитися при киданні двох кісток, ми запишемо в таблиці 1.7.1, кожна клітина якої містить запис можливої \u200b\u200bподії: на першому місці в дужках вказується число очок, що випали на першій кістки, на другому місці - число очок, випали на другий кістки.

Загальна кількість можливих випадків - 36, що сприяють події A - 5. Таким чином, безумовна вірогідність.

Якщо подія В відбулася, то здійснилася одна з 18 (а не 36) можливостей і, отже, умовна ймовірність дорівнює.

Приклад 2. З колоди карт послідовно вийняті дві карти. Знайти: а) безумовну ймовірність того, що друга карта виявиться тузом (невідомо, яка карта була вийнята спочатку), і б) умовну ймовірність, що друга карта буде тузом, якщо спочатку був вийнятий туз.

Позначимо через A подію, що складається в появі туза на другому місці, а через В - подія, що складається в появі туза на першому місці. Ясно, що має місце рівність.

В силу несумісності подій АВ і АВ маємо:

При вийманні двох карт з колоди в 36 карт можуть відбутися 36 * 35 (з огляду на порядок!) Випадків. З них сприяють події АВ - 4 * 3 випадків, а події - 32 * 4 випадків. Таким чином,

Якщо перша карта є туз, то в колоді залишилося 35 карт і серед них лише три туза. Отже,.

Загальне рішення задачі знаходження умовної ймовірності для класичного визначення ймовірності не становить труднощів. Справді, нехай з n єдино можливих, несумісних і рівно можливих подій події А сприяє m подій. Якщо подія В відбулася, то це означає, що настав одна з подій, що сприяють В. При цьому умови події А сприяють r і тільки r подій Aj, що сприяють АВ. Таким чином,

Точно так само можна вивести, що

Зрозуміло, що

т. е. ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншого за умови, що перше відбулося.

Теорема множення може бути застосована і в тому випадку, коли одна з подій А або В є неможлива подія, так як в цьому випадку разом з мають місце рівності і.

Умовна ймовірність має всі властивості ймовірності. У цьому легко переконатися, перевіривши, що вона задовольняє всім властивостям, сформульованих в попередніх параграфах. Дійсно, перша властивість виконується очевидним чином, оскільки для кожної події А визначена неотрицательная функція. Якщо то

Перевірка третього властивості також не складає труднощів і ми надаємо читачеві її здійснення.

Зауважимо, що імовірнісний простір для умовних ймовірностей задається наступною трійкою.

Визначення 1. Кажуть, що подія А незалежно від події В, якщо має місце рівність т. Е. Якщо настання події В не змінює ймовірності появи події А.

Якщо подія А незалежно від В, то має місце рівність

Звідси знаходимо: т. Е. Подія У також незалежно від А. Таким чином, властивість незалежності подій взаємно.

Якщо події А і В незалежні, то незалежні також події А і. Дійсно, так як

Звідси ми робимо важливий висновок: якщо події А і В незалежні, то незалежні також кожні дві події.

Поняття незалежності подій відіграє значну роль в теорії ймовірностей і в її додатках. Зокрема, велика частина результатів, викладених в цьому посібнику, отримана в припущенні незалежності тих чи інших розглянутих подій.

Так, наприклад, ясно, що випадання герба на одній монеті не змінює ймовірності появи герба (решки) на інший монеті, якщо тільки ці монети під час кидання не пов'язані між собою (наприклад, жорстко не скріплені). Точно так же народження хлопчика у однієї матері не змінює ймовірності появи хлопчика (дівчинки) в іншої матері. Це - події незалежні.

Для незалежних подій теорема множення приймає особливо простий вигляд, а саме, якщо події A і В незалежні, то

Ми узагальнимо тепер поняття незалежності двох подій на сукупність кількох подій.

Визначення 2. Події називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-якої події з їх числа і довільних з їх же числа події і взаємно незалежні. В силу попереднього це визначення еквівалентно: при будь-яких

Зауважимо, що для незалежності в сукупності кількох подій недостатньо їх по парній незалежності. У цьому можна переконатися на наступному простому прикладі.

Приклад С.Н. Бернштейна. Уявімо собі, що межі тетраедра пофарбовані: 1-я - в червоний колір (A), 2-я - в зелений (В), третя - в синій (С) і 4-я - в усі ці три кольори (AВС). Легко бачити, що ймовірність випадання межі, на яку впаде тетраедр при киданні, і своєю забарвленням мати червоний колір дорівнює 1/2: граней чотири і дві з них мають в забарвленні червоний колір.

події A, В, С, таким чином, попарно незалежні.

Однак, якщо нам відомо, що здійснилися події В і С, то свідомо здійснилося і подія A, т. Е..

Таким чином, події A, В, С в сукупності залежні. Таким чином, в загальному випадку при по визначенню

(В разі умовна ймовірність залишається невизначеною.) Це дозволяє нам перенести автоматично на загальне поняття ймовірності все визначення і результати цієї частини.

А також навчилися вирішувати типові завдання з незалежними подіями, і зараз піде набагато більше цікаве продовження, яке дозволить не тільки освоїти новий матеріал, а й, можливо, надасть практичну життєву допомогу.

Коротко повторимо, що таке незалежність подій: події і є незалежною, якщо ймовірність будь-якого з них не залежить від появи або непоявленія іншої події. Найпростіший приклад - підкидання двох монет. Вірогідність випадання орла або решки на одній монеті ніяк не залежить від результату кидка інший монети.

Поняття залежності подій вам теж знайоме і настала черга зайнятися ними впритул.

Спочатку розглянемо традиційний набір, що складається з двох подій: подія є залежним , Якщо крім випадкових факторів його ймовірність залежить від появи або непоявленія події. Імовірність події, обчислена в припущенні того, що подія вже відбулося, називається умовною ймовірністю настання події і позначається через. При цьому події і називають залежними подіями (Хоча, строго кажучи, залежно тільки одне з них).

Карти в руки:

завдання 1

З колоди в 36 карт послідовно витягуються 2 карти. Знайти ймовірність того, що друга карта виявиться черв'яків, якщо до цього:

а) була залучена чирва;
б) була витягнута карта іншої масті.

Рішення: Розглянемо подія: - друга карта буде черв'яків. Цілком зрозуміло, що ймовірність цієї події залежить від того, черву або НЕ черву витягли раніше.

а) Якщо спочатку була витягнута чирва (подія), то в колоді залишилося 35 карт, серед яких тепер знаходиться 8 карт Червової масті. за класичним визначенням:
за умови, Що до цього теж була залучена чирва.

б) Якщо ж спочатку була витягнута карта іншої масті (подія), то всі 9 черв залишилися в колоді. за класичним визначенням:
- ймовірність того, що друга карта виявиться черв'яків за умови, Що до цього була залучена карта іншої масті.

Все логічно - якщо ймовірність вилучення черви з повної колоди становить , То при вилученні наступної карти аналогічна ймовірність зміниться: в першому випадку - зменшиться (Тому що черв стало менше), а в другому - зросте: (Тому що все черви залишилися в колоді).

відповідь:

Залежних подій, зрозуміло, може бути і більше. Поки завдання не охолола, додамо ще одне: - третьої картою буде залучена чирва. Припустимо, що відбулася подія, а потім подія; тоді в колоді залишилося 34 карти, серед яких 7 черв. за класичним визначенням:
- ймовірність настання події за умови, Що до цього були вилучені дві черви.

Для самостійної тренування:

завдання 2

У конверті знаходиться 10 лотерейних квитків, серед яких 3 виграшних. З конверта послідовно витягуються квитки. Знайти ймовірності того, що:

а) 2-й витягнутий квиток буде виграшним, якщо 1-й був виграшним;
б) 3-й буде виграшним, якщо попередні два квитки були виграшними;
в) 4-й буде виграшним, якщо попередні квитки були виграшними.

Короткий рішення з коментарями в кінці уроку.

А тепер звернемо увагу на один принципово важливий момент: в розглянутих прикладах потрібно знайти лише умовні ймовірності, при цьому попередні події вважалися достовірно відбулися. Але ж насправді і вони є випадковими! Так, в «розігрітій» завданню витяг черви з повної колоди - є подія випадкове, ймовірність якого дорівнює.

На практиці набагато частіше потрібно відшукати ймовірність спільного появи залежних подій. Як, наприклад, знайти ймовірність події, що складається в тому, що з повної колоди буде залучена чирва і потім ще одна чирва? Відповідь на це питання дає

теорема множення ймовірностей залежних подій: Ймовірність спільного появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулося:

У нашому випадку:
- ймовірність того, що з повної колоди будуть вилучені 2 черви поспіль.

аналогічно:
- ймовірність того, що спочатку буде залучена карта іншої масті іпотім чирва.

Імовірність події вийшла помітно більше ймовірності події, що, в общем-то, було очевидно без жодних обчислень.

І, само собою, не треба плекати особливих надій, що з конверта з десятьма лотерейними квитками (Завдання 2) ви витягнете 3 виграшних квитка поспіль:
, Втім, це ще щедрий шанс.

Так, абсолютно вірно - теорема множення ймовірностей залежних подій природним чином поширюється і на більше їх кількість.

Закріпимо матеріал декількома типовими прикладами:

завдання 3

В урні 4 білих і 7 чорних куль. З урни навмання один за іншим витягують дві кулі, які не повертаючи їх назад. Знайти ймовірність того, що:

а) обидві кулі будуть білими;
б) обидві кулі будуть чорними;
в) спочатку буде витягнуто біла куля, а потім - чорний.

Зверніть увагу на уточнення «Не повертаючи їх назад». Цей коментар додатково підкреслює той факт, що події залежні. Дійсно, а раптом витягнуті кулі повертають назад? У разі поворотної вибірки ймовірності вилучення чорного і білого кулі мінятися не будуть, а в такому завданні вже слід керуватися теоремою множення ймовірностей незалежних подій.

Рішення: Всього в урні: 4 + 7 \u003d 11 куль. поїхали:

а) Розглянемо події - перший шар буде білим, - друга куля буде білим і знайдемо ймовірність події, що складається в тому, що 1-й шар буде білим і 2-й білим.

За класичним визначенням ймовірності:. Припустимо, що біла куля витягнутий, тоді в урні залишиться 10 куль, серед яких 3 білих, тому:
- можливість отримання білої кулі у 2-му випробуванні за умови, що до цього був витягнутий біла куля.

- ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

б) Знайдемо ймовірність події, що складається в тому, що 1-й шар буде чорним і 2-й чорним

За класичним визначенням: - ймовірність того, що в 1-му випробуванні буде витягнуто чорна куля. Нехай витягнутий чорна куля, тоді в урні залишиться 10 куль, серед яких 6 чорних, отже: - ймовірність того, що в 2-му випробуванні буде витягнуто чорна куля за умови, що до цього був витягнутий чорна куля.

По теоремі множення ймовірностей залежних подій:
- ймовірність того, що обидві кулі будуть чорними.

в) Знайдемо ймовірність події (спочатку буде витягнуто біла куля і потім чорний)

Після вилучення білого кулі (з ймовірністю) в урні залишиться 10 куль, серед яких 3 білих і 7 чорних, таким чином: - ймовірність того, що в 2-му випробуванні буде витягнуто чорна куля за умови, що до цього був витягнутий біла куля.

По теоремі множення ймовірностей залежних подій:
- шукана ймовірність.

відповідь:

Дану задачу неважко перевірити через теорему додавання ймовірностей подій, що утворюють повну групу. Для цього знайдемо ймовірність 4-го відсутнього події: - того, що спочатку буде витягнуто чорна куля і потім білий.

події утворюють повну групу, тому сума їх ймовірностей повинна дорівнювати одиниці:
, Що і було потрібно перевірити.

І відразу ж пропоную перевірити, наскільки добре ви засвоїли викладений матеріал:

завдання 4

Яка ймовірність того, що з колоди в 36 карт будуть вилучені два туза поспіль?

завдання 5

В урні 6 чорних, 5 червоних і 4 білі кулі. Послідовно витягують три кулі. Знайти ймовірність того, що

а) третя куля виявиться білою, якщо до цього був витягнутий чорний і червоний куля;
б) перший шар виявиться чорним, другий - червоним і третій - білим.

Рішення і відповіді в кінці уроку.

Треба сказати, що багато з розглянутих задач можна розв'язати і іншим способом, але щоб не виникло плутанини, мабуть, взагалі про нього промовчу.

Напевно, всі помітили, що залежні події виникають в тих випадках, коли здійснюється деяка ланцюжок дій. Однак сама по собі послідовність дій ще не гарантують залежність подій. Нехай, наприклад, студент навмання відповідає на питання якогось тесту - дані події хоч і відбуваються одне за іншим, але незнання відповіді на одне питання ніяк не залежить від незнання інших відповідей \u003d) Хоча, закономірності тут, звичайно, є \u003d) Тоді зовсім простий приклад з неодноразовим підкиданням монети - цей захоплюючий процес навіть так і називається: повторні незалежні випробування.

Я як міг, намагався відстрочити цей момент і підбирати різноманітні приклади, але якщо в завданнях на теорему множення незалежних подійгосподарюють стрілки, то тут відбувається справжнісіньке нашестя урн з кулями \u003d) Тому нікуди не дітися - знову урна:

завдання 6

З урни, в якій знаходиться 6 білих і 4 чорних кулі, витягуються навмання один за одним три кулі. Знайти ймовірність того, що:

а) всі три кулі будуть чорними;
б) буде не менше двох куль чорного кольору.

Рішення: Всього: 6 + 4 \u003d 10 куль в урні.

Подій в даній задачі буде забагато, і в зв'язку з цим доцільніше використовувати змішаний стиль оформлення, позначаючи великими латинськими буквами тільки основні події. Сподіваюся, ви вже зрозуміли, за яким принципом підраховуються умовні ймовірності.

а) Розглянемо подія: - всі три кулі будуть чорними.

По теоремі множення ймовірностей залежних подій:

б) Другий пункт цікавіше, розглянемо подія: - буде не менше двох куль чорного кольору. Дана подія полягає в 2 несумісних випадки: або всі кулі будуть чорними (подія) або 2 кулі будуть чорним і 1 білим - позначимо остання подія буквою.

Подія включається в себе 3 несумісних результату:

в 1-му випробуванні витягнутий білий іу 2-му і в 3-му випробуваннях - чорні кулі
або
іу 2-му - БШ і в 3-му - ЧШ
або
в 1-му випробуванні витягнутий ЧШ іу 2-му - ЧШ і в 3-му - БШ.

Бажаючі можуть ознайомитися з більш важкими прикладами з збірника чудесенка, В яких перекладаються кілька куль. Особливим любителям пропоную завдання підвищеної комбінаційної складності - з двома послідовними переміщеннями куль з 1-й в 2-у урну, з 2-ї до 3-ї і фінальним витяганням кулі з останньої урни - дивіться останні завдання файлу Додаткові завдання на теореми додавання і множення ймовірностей. До речі, там чимало й інших цікавих завдань.

А на закінчення цієї статті ми розберемо Прецікаву завдання, якої я вас заманював на найпершому уроці \u003d) Даже не розберемо, а проведемо невелике практичне дослідження. Викладки в загальному вигляді будуть занадто громіздкі, тому розглянемо конкретний приклад:

Петя здає іспит з теорії ймовірностей, при цьому 20 квитків він знає добре, а 10 погано. Припустимо, в перший день іспит здає частину групи, наприклад, 16 чоловік, включаючи нашого героя. Загалом, ситуація до болю знайома: студенти один за одним заходять в аудиторію і тягнуть квитки.

Очевидно, що послідовне витяг квитків є ланцюг залежних подій, і виникає насущний питання: В якому разі Петі з більшою ймовірністю дістанеться «хороший» квиток - якщо він піде «в перших рядах», або якщо зайде «посередині», або якщо буде тягнути квиток в числі останніх? Коли краще заходити?

Спочатку розглянемо «експериментально чисту» ситуацію, в якій Петя зберігає свої шанси постійними - він не отримує інформацію про те, які питання вже дісталися однокурсникам, нічого не вчить в коридорі, чекаючи своєї черги, і т.д.

Розглянемо подія: - Петя зайде в аудиторію найпершим і витягне «хороший» квиток. За класичним визначенням ймовірності: .

Як зміниться можливість отримання вдалого квитка, якщо пропустити вперед відмінницю Настю? У цьому випадку можливі дві несумісні гіпотези:

- Настя витягне «хороший» (для Петі) квиток;
- Настя витягне «поганий» квиток, тобто збільшить шанси Петі.

Подія ж (Петя зайде другим і витягне «хороший» квиток) стає залежним.

1) Припустимо, що Настя з ймовірністю «Поцупила» у Петі один вдалий квиток. Тоді на столі залишаться 29 квитків, серед яких 19 «хороших». За класичним визначенням ймовірності:

2) Тепер припустимо, що Настя з ймовірністю «Позбавила» Петю від 1-го «поганого» квитка. Тоді на столі залишаться 29 квитків, серед яких як і раніше 20 «хороших». За класичним визначенням:

Використовуючи теореми додавання ймовірностей несумісних і множення ймовірностей залежних подій, обчислимо ймовірність того, що Петя витягне «хороший» квиток, будучи другим в черзі:

Імовірність ... залишилося тієї ж! Добре, розглянемо подія: - Петя піде третім, пропустивши вперед Настю і Олену, і витягне «хороший» квиток.

Тут гіпотез буде побільше: дами можуть «обікрасти» джентльмена на 2 вдалих квитка, або навпаки - позбавити його від 2 невдалих, або витягти 1 «хороший» і 1 «поганий» квиток. Якщо провести аналогічні міркування, скористатися тими ж теоремами, то ... вийде таке ж значення ймовірності!

Таким чином, чисто з математичної точки зору, без різниці, коли йти - початкові ймовірності залишаться незмінними. АЛЕ. Це тільки усереднена теоретична оцінка, так, наприклад, якщо Петя піде останнім, то це зовсім не означає, що йому залишаться на вибір 10 «хороших» і 5 «поганих» квитків відповідно до його початковими шансами. Дане співвідношення може змінюватись в кращу або гіршу сторону, проте все ж малоймовірно, що серед квитків залишиться «одна халява», або навпаки - «суцільний жах». Хоча «унікальні» випадки не виключені - все-таки тут не 3 мільйони лотерейних квитків з практично нульовою ймовірністю великого виграшу. Тому «неймовірне везіння» або «злий рок» будуть надто вже перебільшеними висловлюваннями. Навіть якщо Петя знає всього лише 3 квитка з 30, то його шанси складають 10%, що помітно вище нуля. І з особистого досвіду розповім зворотний випадок: на екзамені з аналітичної геометрії я добре знав 24 питання з 28, так от - в квитку мені попалися два «поганих» питання; ймовірність цієї події підрахуйте самостійно :)

Математика і «чистий експеримент» - це добре, але як і стратегії та тактики все ж вигідніше дотримуватися в реальних умовах? Безумовно, слід взяти до уваги суб'єктивні чинники, наприклад, «знижку» викладача для «сміливців» або його втому до кінця іспиту. Найчастіше ці чинники можуть бути навіть вирішальними, але в заключних міркуваннях я постараюся не скидати з рахунків і додаткові імовірнісні аспекти:

Якщо Ви готові до іспиту добре, то, напевно, краще йти «в перших рядах». Поки квитків повний комплект, постулат « малоймовірно події не відбуваються»Працює на Вас набагато в бОльшей ступеня. Погодьтеся, що набагато приємніше мати співвідношення «30 квитків, серед яких 2 поганих», ніж «15 квитків, серед яких 2 поганих». А то, що два невдалих квитка на окремо взятому іспиті (а не за середньою теоретичної оцінки!) так і залишаться на столі - цілком і цілком можливо.

Тепер розглянемо «ситуацію Петі» - коли студент готовий до іспиту досить добре, але з іншого боку, і «плаває» теж непогано. Іншими словами, «більше знає, чому не знає». У цьому випадку доцільно пропустити вперед 5-6 чоловік, і очікувати слушного моменту поза аудиторією. Дійте по ситуації. Досить скоро почне надходити інформація, які квитки витягли однокурсники (Знову залежні події!) , І на «заграні» питання можна більше не витрачати сили - вчіть і повторюйте інші квитки, підвищуючи тим самим первинну ймовірність свого успіху. Якщо «перша партія» екзаменуються «позбавила» вас відразу від 3-4 важких (особисто для Вас) квитків, то вигідніше якомога швидше потрапити на іспит - саме зараз шанси значно зросли. Постарайтеся не упускати момент - всього кілька пропущених вперед людина, і перевага, швидше за все, стане. Якщо ж навпаки, «поганих» квитків витягли мало - чекайте. Через кілька людей ця «аномалія» знову ж з великою ймовірністю, якщо не зникне, то згладиться в кращу сторону. У «звичайному» і найпоширенішому випадку вигода теж є: розклад «24 квитка / 8 поганих» буде краще співвідношення «30 квитків / 10 поганих». Чому? Важких квитків тепер не десять, а вісім! З подвоєною енергією вивчаючи матеріал!

Якщо Ви готові неважливо чи погано, то само собою, краще йти в «останніх рядах» (Хоча можливі й оригінальні рішення, особливо, якщо нема чого втрачати). Існує невелика, але все ж ненульова ймовірність, що Вам залишаться відносно прості питання + додаткова зубріння + шпори, які віддадуть відстрілявся однокурсники \u003d) І, так - в зовсім критичній ситуації є ще наступний день, коли іспит здає друга частина групи ;-)