Probabilite conditionnelle. Théorème de multiplication de probabilité

§ 1. NOTIONS DE BASE

4. Probabilité conditionnelle. Théorème de multiplication des probabilités.

Dans de nombreuses tâches, il est nécessaire de trouver la probabilité d'événements coïncidents MAIS et DANS si les probabilités des événements sont connues MAIS et DANS.

Considérez l'exemple suivant. Que deux pièces soient lancées. Trouvons la probabilité de l'apparition de deux armoiries. Nous avons 4 résultats incohérents par paires également probables qui forment un groupe complet :

	1ère pièce	2ème pièce
1er résultat	blason	blason
2e résultat	blason	une inscription
3e résultat	une inscription	blason
4e résultat	une inscription	une inscription

De cette façon, P (blason, armoiries) = 1/4.

Faites-nous savoir maintenant que la première pièce a un blason. Comment la probabilité que les armoiries apparaissent sur les deux pièces changera-t-elle après cela ? Depuis que les armoiries sont tombées sur la première pièce de monnaie, le groupe complet se compose désormais de deux résultats incohérents également probables :

	1ère pièce	2ème pièce
1er résultat	blason	blason
2e résultat	blason	une inscription

De plus, un seul des résultats favorise l'événement (blason, armoiries). Par conséquent, sous les hypothèses formulées P (blason, armoiries) = 1/2... Notons par MAIS l'apparition de deux armoiries, et après DANS- l'apparition des armoiries sur la première pièce. On voit que la probabilité d'un événement MAIS changé lorsqu'il est devenu connu que l'événement B eu lieu.

Nouvelle probabilité d'événement MAIS, en supposant qu'un événement s'est produit B, nous noterons P B (A).

De cette façon, P(A) = 1/4 ; P B (A) = 1/2

Théorème de multiplication. La probabilité de coïncidence des événements A et B est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée en supposant que le premier événement a eu lieu, c'est-à-dire

P (AB) = P (A) P A (B)

(4)

Preuve. Prouvons la validité de la relation (4), en nous appuyant sur la définition classique de la probabilité. Laissez les résultats possibles E 1, E 2, ..., FR de cette expérience forment un groupe complet d'événements incompatibles par paires également probables, dont l'événement UNE favorisé M résultats, et laissez-les M résultats L les résultats favorisent l'événement B... Il est évident que la combinaison d'événements UNE et B favorisé L de N résultats des tests possibles. Cela donne ; ;
De cette façon,
Changer de place UNE et B, de même on obtient
Le théorème de multiplication peut être facilement généralisé à n'importe quel nombre fini d'événements. Ainsi, par exemple, dans le cas de trois événements Un 1, Un 2, Un 3 on a *
En général

De la relation (6) il résulte que de deux égalités (8) l'une est une conséquence de l'autre.

Par exemple, un événement UNE- l'apparition des armoiries d'un seul coup de pièce de monnaie, et l'événement B- l'apparition d'une carte de couleur carreau lors du retrait d'une carte du paquet. De toute évidence, les événements UNE et B indépendant.

En cas d'indépendance des événements UNEà B la formule (4) prendra une forme plus simple :

* Événement A 1 A 2 A 3 peut être considéré comme une combinaison de deux événements : les événements C = A 1 A 2 et événements Un 3.

Souvent dans la vie, nous sommes confrontés à la nécessité d'évaluer les chances qu'un événement se produise. Que cela vaille la peine d'acheter un billet de loterie ou non, quel sera le sexe du troisième enfant de la famille, si le temps sera clair demain ou s'il pleuvra à nouveau - les exemples sont innombrables. Dans le cas le plus simple, le nombre d'issues favorables doit être divisé par le nombre total d'événements. S'il y a 10 tickets gagnants à la loterie, et qu'il y en a 50 au total, alors les chances d'obtenir un prix sont de 10/50 = 0,2, soit 20 contre 100. Mais que faire s'il y a plusieurs événements, et ils sont étroitement liés? Dans ce cas, on ne s'intéressera plus à la probabilité simple, mais conditionnelle. Quelle est cette valeur et comment elle peut être calculée - ce sera exactement ce qui sera discuté dans notre article.

Concept

La probabilité conditionnelle est la probabilité qu'un certain événement se produise, à condition qu'un autre événement connexe se soit déjà produit. Regardons un exemple simple de lancer à pile ou face. S'il n'y a pas encore eu de match nul, les chances d'obtenir pile ou face seront les mêmes. Mais si cinq fois de suite la pièce tombait avec les armoiries relevées, alors acceptez de vous attendre au 6e, au 7e et plus encore à la 10e répétition d'un tel résultat sera illogique. À chaque coup répété d'une tête, les chances d'apparition d'une queue augmentent et, tôt ou tard, elles se présenteront.

Formule de probabilité conditionnelle

Voyons maintenant comment cette valeur est calculée. Notons le premier événement par B, et le second par A. Si les chances d'occurrence de B sont différentes de zéro, alors l'égalité suivante sera vraie :

P (A | B) = P (AB) / P (B), où :

• Р (А | В) - probabilité conditionnelle du total А;
• P (AB) - la probabilité d'occurrence conjointe des événements A et B;
• P (B) est la probabilité de l'événement B.

En transformant légèrement ce rapport, nous obtenons P (AB) = P (A | B) * P (B). Et si vous postulez, vous pouvez dériver la formule du produit et l'utiliser pour un nombre arbitraire d'événements :

P (A 1, A 2, A 3, ... A p) = P (A 1 | A 2 ... A p) * P (A 2 | A 3 ... A p) * P (A 3 | A 4 ... A p ) ... P (A p-1 | A p) * P (A p).

Entraine toi

Pour mieux comprendre comment le conditionnel est calculé, considérons quelques exemples. Supposons que vous ayez un vase contenant 8 chocolats et 7 menthes. Ils sont de la même taille et deux d'entre eux sont tirés au hasard de manière séquentielle. Quelles sont les chances que les deux se révèlent être du chocolat ? Introduisons la notation. Soit le total A signifie que le premier bonbon est du chocolat, et le total B - le deuxième bonbon. Ensuite, vous obtenez les éléments suivants :

P (A) = P (B) = 8/15,

P (A | B) = P (B | A) = 7/14 = 1/2,

P (AB) = 8/15 x 1/2 = 4/15 0,27

Considérons un autre cas. Supposons qu'il y ait une famille de deux enfants et que nous sachions qu'au moins un enfant est une fille.

Quelle est la probabilité conditionnelle que ces parents n'aient pas encore de garçons ? Comme dans le cas précédent, commençons par la notation. Soit P (B) - la probabilité qu'il y ait au moins une fille dans la famille, P (A | B) - la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille, P (AB) - les chances qu'il y ait deux filles dans la famille. Faisons maintenant les calculs. Au total, il peut y avoir 4 combinaisons différentes du sexe des enfants, et dans un seul cas (quand il y a deux garçons dans la famille), il n'y aura pas de fille parmi les enfants. Par conséquent, la probabilité P (B) = 3/4, et P (AB) = 1/4. Ensuite, en suivant notre formule, nous obtenons :

P (A | B) = 1/4 : 3/4 = 1/3.

Le résultat peut être interprété comme suit : si nous ne connaissions pas le sexe de l'un des enfants, alors les chances de deux filles seraient de 25 à 100. Mais puisque nous savons qu'un enfant est une fille, la probabilité qu'il y ait aucun garçon dans la famille n'augmente jusqu'à un tiers.

Définition 1. L'événement A est appelé dépendant de l'événement B si la probabilité d'occurrence de l'événement A dépend de la survenance ou non de l'événement B. La probabilité que l'événement A se soit produit, à condition que l'événement B se soit produit, sera notée et appelée la probabilité conditionnelle de l'événement A sous réserve de V.

Exemple 1. L'urne contient 3 boules blanches et 2 noires. Une balle est sortie de l'urne (première sortie), puis la seconde (deuxième sortie). Événement B - l'apparition d'une boule blanche au premier retrait. Événement A - l'apparition d'une boule blanche lors du deuxième retrait.

De toute évidence, la probabilité de l'événement A, si l'événement B s'est produit, sera

La probabilité de l'événement , à condition que l'événement B ne se soit pas produit (lorsque la boule noire est apparue au premier retrait), sera

On voit ça

Théorème 1. La probabilité de combiner deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle du second, calculée sous la condition que le premier événement se soit produit, c'est-à-dire

Preuve. La preuve est donnée pour des événements qui se réduisent au schéma des urnes (c'est-à-dire dans le cas où la définition classique de la probabilité est applicable).

Que les boules soient dans l'urne, blanches et noires. Supposons que parmi les boules blanches il y ait des boules marquées d'un astérisque, les autres sont d'un blanc pur (fig. 408).

Une balle est sortie de l'urne. Quelle est la probabilité que l'événement fasse sortir la boule blanche marquée d'un astérisque ?

Soit B un événement consistant en l'apparition d'une (boule blanche, A - un événement consistant en l'apparition d'une boule marquée d'un astérisque. Évidemment,

La probabilité d'apparition d'une boule blanche avec un astérisque, à condition qu'une boule blanche apparaisse, sera

La probabilité d'apparition d'une boule blanche avec un astérisque est P (A et B). Évidemment

En substituant dans (5) les membres de gauche des expressions (2), (3) et (4), on obtient

L'égalité (1) est prouvée.

Si les événements considérés ne rentrent pas dans le schéma classique, alors la formule (1) sert à déterminer la probabilité conditionnelle. À savoir, la probabilité conditionnelle de l'événement A, à condition que l'événement B se produise, est déterminée en utilisant

Remarque 1. Appliquons la dernière formule à l'expression :

Dans les égalités (1) et (6), les membres de gauche sont égaux, puisqu'il s'agit de la même probabilité, par conséquent, les membres de droite sont également égaux. On peut donc écrire l'égalité

Exemple 2. Pour le cas de l'exemple 1, donné au début de cette section, nous avons Par la formule (1) nous obtenons la probabilité P (A et B) qui peut être calculée facilement et directement.

Exemple 3. La probabilité de fabriquer un produit approprié par cette machine est de 0,9. La probabilité d'apparition d'un produit de 1er grade parmi les produits adaptés est de 0,8. Déterminez la probabilité de fabriquer un produit de 1ère qualité avec cette machine.

Décision. Événement B - production d'un produit approprié par cette machine, événement A - l'apparition d'un produit du 1er degré. Ici, en substituant dans la formule (1), nous obtenons la probabilité souhaitée

Théorème 2. Si l'événement A ne peut se produire que lorsqu'un des événements qui forment un groupe complet d'événements incompatibles se produit, alors la probabilité de l'événement A est calculée par la formule

Les formules (8) sont appelées formules de probabilité totale. Preuve. L'événement A peut se produire lorsque l'un des événements combinés est exécuté

Par conséquent, par le théorème d'addition des probabilités, on obtient

En remplaçant les termes du membre de droite par la formule (1), on obtient l'égalité (8).

Exemple 4. Trois coups de feu consécutifs ont été tirés sur la cible. La probabilité de toucher le premier coup avec le deuxième avec le troisième Avec un coup, la probabilité de toucher la cible avec deux coups, avec trois coups Déterminer la probabilité de toucher la cible avec trois coups (événement A).

Nous avons déjà dit que la détermination de la probabilité d'un événement repose sur un certain ensemble de conditions. Si aucune restriction, autre que des conditions, n'est imposée lors du calcul de la probabilité, alors ces probabilités sont dites inconditionnelles.

Cependant, dans un certain nombre de cas, il est nécessaire de trouver les probabilités d'événements sous la condition supplémentaire qu'un événement B se soit produit, qui a une probabilité non nulle, c'est-à-dire Nous appellerons ces probabilités conditionnelles et les désignerons par un symbole ; cela signifie la probabilité de l'événement A, à condition que l'événement B se soit produit.

Exemple 1. Deux dés sont lancés. Quelle est la probabilité que la somme des points déposés sur eux soit égale à 8 (événement A), si l'on sait que cette somme est un nombre pair (événement B) ?

Nous écrirons tous les cas possibles qui peuvent apparaître lors du lancer de deux dés dans le tableau 1.7.1, dont chaque cellule contient un enregistrement d'un événement possible : en premier lieu, entre parenthèses, le nombre de points tombés sur le premier dé est indiqué, en second lieu - le nombre de points, déposés sur le deuxième os.

Le nombre total de cas possibles - 36, favorable pour l'événement A - 5. Ainsi, la probabilité inconditionnelle.

Si l'événement B s'est produit, alors l'une des 18 (et non 36) possibilités s'est réalisée et, par conséquent, la probabilité conditionnelle est égale à.

Exemple 2. Deux cartes sont consécutivement tirées d'un jeu de cartes. Trouvez : a) la probabilité inconditionnelle que la deuxième carte se révèle être un as (on ne sait pas quelle carte a été retirée en premier), et b) la probabilité conditionnelle que la deuxième carte soit un as si l'as était à l'origine dessiné.

Notons par A l'événement consistant en l'apparition d'un as en second lieu, et par B - l'événement consistant en l'apparition d'un as en premier lieu. Il est clair que l'égalité est respectée.

En raison de l'incompatibilité des événements AB et AB nous avons :

Lorsqu'on retire deux cartes d'un jeu de 36 cartes, 36 * 35 (en tenant compte de l'ordre !) Des cas peuvent se produire. Parmi ceux-ci, 4 * 3 cas favorables pour l'événement AB, et 32 ​​* 4 cas pour l'événement. De cette façon,

Si la première carte est un as, alors il reste 35 cartes dans le jeu et il n'y a que trois as parmi eux. D'où, .

La solution générale au problème de trouver la probabilité conditionnelle pour la définition classique de la probabilité n'est pas difficile. En effet, soit m événements privilégier l'événement A parmi les n seuls événements possibles, incompatibles et équiprobables. Si l'événement B s'est produit, alors cela signifie qu'il s'est produit un des événements favorables à B. Dans cette condition, l'événement A est favorisé par r et seulement r événements Aj, favorables à AB. De cette façon,

De la même manière, on peut en déduire que

Il est clair que

c'est-à-dire que la probabilité du produit de deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un de ces événements par la probabilité conditionnelle de l'autre, à condition que le premier se soit produit.

Le théorème de multiplication est également applicable dans le cas où l'un des événements A ou B est un événement impossible, puisque dans ce cas, conjointement avec, les égalités et ont lieu.

La probabilité conditionnelle a toutes les propriétés de la probabilité. Il est facile de le vérifier en vérifiant qu'il satisfait à toutes les propriétés formulées dans les sections précédentes. En effet, la première propriété est satisfaite de manière évidente, puisqu'une fonction non négative est définie pour chaque événement A. Si donc

La vérification de la troisième propriété n'est pas non plus difficile, et nous laissons au lecteur le soin de la réaliser.

Notez que l'espace de probabilité pour les probabilités conditionnelles est donné par le triplet suivant.

Définition 1. Un événement A est dit indépendant de l'événement B s'il y a égalité, c'est-à-dire si l'occurrence de l'événement B ne modifie pas la probabilité d'occurrence de l'événement A.

Si l'événement A est indépendant de B, alors l'égalité

D'où nous trouvons : c'est-à-dire que l'événement B est également indépendant de A. Ainsi, la propriété d'indépendance des événements est mutuelle.

Si les événements A et B sont indépendants, alors les événements A et B sont également indépendants. En effet, depuis

De cela, nous tirons une conclusion importante : si les événements A et B sont indépendants, alors tous les deux événements sont également indépendants.

La notion d'indépendance des événements joue un rôle important dans la théorie des probabilités et dans ses applications. En particulier, la plupart des résultats présentés dans ce manuel ont été obtenus en supposant que certains événements considérés sont indépendants.

Ainsi, par exemple, il est clair que l'apparition des armoiries sur une pièce ne modifie pas la probabilité de l'apparition des armoiries (queues) sur une autre pièce, à moins que ces pièces ne soient reliées entre elles lors du lancer. (par exemple, ils ne sont pas fixés de manière rigide). De même, avoir un garçon avec une mère ne change pas la probabilité d'avoir un garçon (une fille) avec une autre mère. Ce sont des événements indépendants.

Pour les événements indépendants, le théorème de multiplication prend une forme particulièrement simple, à savoir, si les événements A et B sont indépendants, alors

Nous allons maintenant généraliser la notion d'indépendance de deux événements à un ensemble de plusieurs événements.

Définition 2. Les événements sont appelés indépendants dans l'ensemble si pour tout événement de leur nombre et les événements arbitraires de leur nombre sont mutuellement indépendants. En vertu de la définition précédente, cette définition est équivalente : pour tout

Notez que pour l'indépendance dans l'ensemble de plusieurs événements, leur indépendance appariée n'est pas suffisante. Cela peut être vu dans l'exemple simple suivant.

Exemple S.N. Bernstein. Imaginez que les faces du tétraèdre soient colorées : 1ère - en rouge (A), 2ème - en vert (B), la troisième - en bleu (C) et 4ème - dans toutes ces trois couleurs (ABC). Il est facile de voir que la probabilité de tomber de la face sur laquelle le tétraèdre tombe lorsqu'il est lancé et d'avoir sa couleur rouge est de 1/2 : il y a quatre faces et deux d'entre elles sont de couleur rouge.

les événements A, B, C sont donc deux à deux indépendants.

Cependant, si nous savons que les événements B et C ont eu lieu, alors l'événement A a certainement eu lieu, c'est-à-dire

Ainsi, les événements A, B, C sont collectivement dépendants. Ainsi, dans le cas général, pour, par définition

(Dans le cas, la probabilité conditionnelle reste indéfinie.) Cela nous permet de transférer automatiquement au concept général de probabilité toutes les définitions et les résultats de cette section.

Et ils ont également appris à résoudre des problèmes typiques avec des événements indépendants, et maintenant une suite beaucoup plus intéressante suivra, qui vous permettra non seulement de maîtriser de nouveaux matériaux, mais aussi, éventuellement, fournira une aide quotidienne pratique.

Répétons brièvement ce qu'est l'indépendance des événements : les événements et sont INDÉPENDANTS si la probabilité de l'un d'entre eux ne dépend pas de l'apparition ou de la non-apparition d'un autre événement. L'exemple le plus simple est un tirage au sort de deux pièces. La probabilité d'obtenir pile ou face sur une pièce ne dépend en aucun cas du résultat du lancer d'une autre pièce.

Vous connaissez également le concept de dépendance aux événements, et il est temps de les aborder de près.

Tout d'abord, considérons un ensemble traditionnel de deux événements : l'événement est intoxiqué si, outre des facteurs aléatoires, sa probabilité dépend de la survenance ou non de l'événement. La probabilité d'un événement, calculée en supposant que l'événement déjà arrivé est appelé probabilite conditionnelle l'occurrence de l'événement et est désigné par. Dans ce cas, les événements sont appelés événements dépendants (même si, à proprement parler, un seul d'entre eux est dépendant).

Cartes en main :

Problème 1

2 cartes sont tirées en séquence dans un jeu de 36 cartes. Trouvez la probabilité que la deuxième carte se révèle être un cœur, si avant cela :

a) le ver a été retiré ;
b) une carte d'une couleur différente a été tirée.

Décision: considérez l'événement : - la deuxième carte sera un cœur. Il est tout à fait clair que la probabilité de cet événement dépend du fait que le ver ait été dessiné plus tôt ou non.

a) Si le cœur (événement) a d'abord été tiré, il reste alors 35 cartes dans le jeu, parmi lesquelles il y a maintenant 8 cartes de la couleur cœur. Par définition classique:
étant donné que qu'avant cela, le ver avait également été retiré.

b) Si une carte d'une couleur différente (événement) a été tirée pour la première fois, alors les 9 cœurs sont restés dans le paquet. Par définition classique:
- la probabilité que la deuxième carte se révèle être un cœur étant donné que qu'une carte d'une couleur différente a été tirée auparavant.

Tout est logique - si la probabilité d'extraire des cœurs d'un deck complet est , puis lorsque la prochaine carte est tirée, la probabilité similaire changera : dans le premier cas, elle diminuera (puisque le ver est devenu plus petit), et dans le second - il augmentera: (puisque tous les cœurs sont restés dans le deck).

Répondre:

Bien sûr, il peut y avoir des événements plus dépendants. Tant que la tâche n'est pas refroidie, ajoutons-en une de plus : - le cœur sera extrait avec la troisième carte. Supposons qu'il y ait eu un événement, puis un événement ; il reste alors 34 cartes dans le jeu, dont 7 cœurs. Par définition classique:
- la probabilité de l'événement étant donné que que deux vers ont été extraits auparavant.

Pour l'autoformation :

Tâche 2

L'enveloppe contient 10 billets de loterie, dont 3 gagnants. Les billets sont retirés séquentiellement de l'enveloppe. Trouvez les probabilités que :

a) le 2ème ticket retiré sera gagnant si le 1er était gagnant ;
b) le 3e sera gagnant si les deux billets précédents étaient gagnants ;
c) Le 4e sera gagnant si les billets précédents étaient gagnants.

Une solution courte avec des commentaires à la fin du tutoriel.

Faisons maintenant attention à un point fondamentalement important : dans les exemples considérés, il a été demandé de ne trouver que des probabilités conditionnelles, tandis que les événements précédents ont été considérés comme valides... Mais en réalité, ils sont aussi accidentels ! Ainsi, dans le problème « échauffé », extraire des cœurs d'un jeu complet est un événement aléatoire dont la probabilité est égale à.

En pratique, il est beaucoup plus souvent nécessaire de trouver la probabilité aspect communévénements dépendants. Comment, par exemple, pouvons-nous trouver la probabilité d'un événement qui, à partir d'un jeu complet sera enlevé le coeur et alors un autre coeur? La réponse à cette question est donnée par

théorème de multiplication pour les probabilités d'événements dépendants: la probabilité d'occurrence conjointe de deux événements dépendants est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux par la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée en supposant que le premier événement s'est déjà produit :

Dans notre cas:
- la probabilité que 2 cœurs d'affilée soient tirés d'un jeu complet.

De même:
- la probabilité qu'une carte d'une couleur différente soit tirée en premier et puis le ver.

La probabilité d'un événement s'est avérée significativement plus élevée que la probabilité d'un événement, ce qui, en général, était évident sans aucun calcul.

Et, bien sûr, il n'est pas nécessaire de nourrir des espoirs particuliers que d'une enveloppe contenant dix billets de loterie (Objectif 2) vous tirerez au sort 3 tickets gagnants d'affilée :
cependant, c'est toujours une chance généreuse.

Oui, c'est vrai - le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants s'étend naturellement à un grand nombre d'entre eux.

Fixons le matériel avec plusieurs exemples typiques :

Problème 3

L'urne contient 4 boules blanches et 7 boules noires. Deux boules sont sorties de l'urne au hasard, l'une après l'autre, sans les renvoyer. Trouvez la probabilité que :

a) les deux boules seront blanches ;
b) les deux boules seront noires ;
c) d'abord, la boule blanche sera tirée, puis la noire.

Faites attention à la précision "ne les retournez pas". Ce commentaire souligne encore le fait que les événements sont dépendants. En effet, et si les boules retirées étaient restituées ? Dans le cas d'un échantillon récurrent, les probabilités d'extraire les boules noires et blanches ne changeront pas, et dans un tel problème il faut déjà se guider par le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants.

Décision: total en urne : 4 + 7 = 11 boules. Va:

a) Considérons les événements - la première boule sera blanche, - la deuxième boule sera blanche et nous trouverons la probabilité de l'événement que la 1ère boule soit blanche et 2ème blanc.

Selon la définition classique de la probabilité :. Supposons que la boule blanche soit retirée, alors 10 boules resteront dans l'urne, dont 3 sont blanches, donc :
- la probabilité de tirer une boule blanche au 2e essai, à condition qu'une boule blanche ait été retirée auparavant.

- la probabilité que les deux boules soient blanches.

b) Trouvez la probabilité de l'événement que la 1ère boule sera noire et 2e noir

Selon la définition classique : - la probabilité qu'une boule noire soit tirée au 1er essai. Que la boule noire soit retirée, il restera alors 10 boules dans l'urne, dont 6 noires, donc : - la probabilité qu'une boule noire soit tirée au 2ème essai, à condition qu'une boule noire ait été tirée auparavant.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants :
- la probabilité que les deux boules soient noires.

c) Trouvez la probabilité de l'événement (d'abord, la boule blanche sera extraite et puis noir)

Après avoir retiré la boule blanche (avec une probabilité), il restera 10 boules dans l'urne, dont 3 blanches et 7 noires, donc : - la probabilité qu'au 2ème essai une boule noire soit tirée, à condition qu'une boule blanche la balle a été retirée auparavant.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants :
Est la probabilité requise.

Répondre:

Ce problème est facile à vérifier le théorème d'addition pour les probabilités d'événements formant un groupe complet... Pour ce faire, nous trouvons la probabilité du 4ème événement manquant : - le fait que la boule noire sera tirée en premier et puis blanc.

Événements forment un groupe complet, la somme de leurs probabilités doit donc être égale à un :
, ce qui devait être vérifié.

Et tout de suite je vous propose de vérifier dans quelle mesure vous maîtrisez bien le matériel présenté :

Problème 4

Quelle est la probabilité que deux as d'affilée soient tirés d'un jeu de 36 cartes ?

Problème 5

L'urne contient 6 boules noires, 5 rouges et 4 blanches. Trois balles sont retirées successivement. Trouvez la probabilité que

a) la troisième boule deviendra blanche si les boules noires et rouges ont été tirées auparavant ;
b) la première boule s'avérera noire, la deuxième - rouge et la troisième - blanche.

Solutions et réponses à la fin de la leçon.

Il faut dire que bon nombre des problèmes à l'étude peuvent être résolus d'une autre manière, mais pour éviter toute confusion, je ne le mentionnerai peut-être pas du tout.

Tout le monde a probablement remarqué que des événements dépendants se produisent dans les cas où une certaine chaîne d'actions est effectuée. Cependant, la séquence d'actions à elle seule ne garantit pas la dépendance des événements. Supposons, par exemple, qu'un étudiant réponde au hasard aux questions d'un test - bien que ces événements se produisent l'un après l'autre, l'ignorance de la réponse à une question ne dépend en aucune façon de l'ignorance des autres réponses =) Bien que, bien sûr, il sont des motifs ici =) Ensuite, un exemple simple avec lancer à plusieurs reprises une pièce de monnaie - ce processus fascinant s'appelle même ainsi : tests indépendants répétés.

J'ai essayé du mieux que je pouvais de reporter ce moment et de sélectionner une variété d'exemples, mais si dans les tâches sur théorème de multiplication pour les événements indépendants sont en charge des flèches, alors voici une véritable invasion d'urnes avec des boules =) Par conséquent, il n'y a pas d'échappatoire - encore une fois l'urne :

Problème 6

Dans l'urne, qui contient 6 boules blanches et 4 noires, trois boules sont tirées au hasard les unes après les autres. Trouvez la probabilité que :

a) les trois boules seront noires ;
b) il y aura au moins deux boules noires.

Décision: total : 6 + 4 = 10 boules dans l'urne.

Il y aura beaucoup d'événements dans cette tâche, et à cet égard, il est plus opportun d'utiliser un style de conception mixte, désignant uniquement les événements principaux en lettres latines majuscules. J'espère que vous avez déjà compris comment sont calculées les probabilités conditionnelles.

a) Considérez l'événement : - les trois boules seront noires.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants :

b) Le deuxième point est plus intéressant, considérez l'événement : - il y aura au moins deux boules noires. Cet événement se compose de 2 résultats incohérents : soit toutes les boules seront noires (événement) soit 2 boules seront noires et 1 blanche - désignons le dernier événement par une lettre.

L'événement comprend 3 résultats incohérents :

dans le 1er test, le blanc a été extrait et dans le 2e et en 3e essais - boules noires
ou alors
et dans le 2e - BSH et dans le 3e - ChSh
ou alors
dans le 1er essai, CS a été extrait et dans le 2e - CS et dans le 3e - BSh.

Les personnes intéressées peuvent se familiariser avec des exemples plus difficiles de collection de Chudesenko, dans lequel plusieurs balles sont transférées. Pour les amateurs particuliers je propose des problèmes de complexité combinatoire accrue - avec deux mouvements consécutifs de billes de la 1ère à la 2ème urne, de la 2ème à la 3ème et l'extraction finale de la balle de la dernière urne - voir les derniers problèmes du dossier Problèmes supplémentaires sur les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités... À propos, il y a beaucoup d'autres tâches intéressantes.

Et à la fin de cet article, nous analyserons le problème le plus intéressant avec lequel je vous ai attiré dans la toute première leçon =) Nous ne le découvrirons même pas, mais nous effectuerons une petite recherche pratique. Les calculs généraux seront trop lourds, considérons donc un exemple spécifique :

Petya réussit l'examen en théorie des probabilités, alors qu'il connaît bien 20 tickets et 10 mauvais. Supposons que le premier jour, l'examen soit passé par une partie du groupe, par exemple 16 personnes, dont notre héros. En général, la situation est douloureusement familière : les étudiants entrent un par un dans la salle de classe et tirent des tickets.

De toute évidence, la récupération séquentielle des billets est une chaîne d'événements dépendants, et une urgence question: Dans quel cas Petya a-t-il plus de chances d'obtenir un « bon » ticket - s'il va « dans les premiers rangs », ou s'il entre « au milieu », ou s'il tire un ticket parmi les derniers ? Quel est le meilleur moment pour partir ?

Tout d'abord, considérons la situation "expérimentalement propre" dans laquelle Petya garde ses chances constantes - il ne reçoit pas d'informations sur les questions que ses camarades de classe ont déjà posées, n'apprend rien dans le couloir, attend son tour, etc.

Considérez l'événement : - Petya entrera en premier dans le public et en tirera un « bon » billet. Selon la définition classique de la probabilité : .

Comment la probabilité d'obtenir un ticket réussi va-t-elle évoluer si l'excellente élève Nastya est ignorée ? Dans ce cas, deux hypothèses incohérentes sont possibles :

- Nastya sortira un "bon" (pour Petit) ticket ;
- Nastya retirera un "mauvais" ticket, c'est-à-dire augmentera les chances de Petit.

L'événement (Petya entrera en deuxième et tirera un "bon" billet) devient intoxiqué.

1) Supposons que Nastya avec probabilité "Volé" un ticket réussi de Petya. Ensuite, il y aura 29 billets sur la table, dont 19 « bons ». Selon la définition classique de la probabilité :

2) Supposons maintenant que Nastya avec probabilité Petya "sauvé" du premier "mauvais" ticket. Ensuite, il y aura 29 tickets sur la table, parmi lesquels il y en a encore 20 « bons ». Par la définition classique :

En utilisant les théorèmes d'addition des probabilités d'inconsistance et de multiplication des probabilités d'événements dépendants, nous calculons la probabilité que Petya tire un « bon » ticket, en deuxième ligne :

La probabilité... reste la même ! Eh bien, considérons l'événement : - Petya ira troisième, laissant Nastya et Lena aller de l'avant, et sortira un "bon" ticket.

Il y aura plus d'hypothèses ici: les dames peuvent "voler" un monsieur pour 2 billets réussis, ou vice versa - le sauver de 2 billets non réussis, ou extraire 1 "bon" et 1 "mauvais" billet. Si nous effectuons un raisonnement similaire, utilisons les mêmes théorèmes, alors... nous obtenons la même valeur de probabilité !

Ainsi, d'un point de vue purement mathématique, peu importe quand partir - les probabilités initiales resteront inchangées. MAIS... Il ne s'agit que d'une estimation théorique moyenne, donc par exemple, si Petya passe dernier, cela ne veut pas du tout dire qu'il aura le choix entre 10 "bons" et 5 "mauvais" billets en fonction de ses chances initiales. Ce rapport peut varier pour le meilleur ou pour le pire, mais il est encore peu probable qu'il y ait "un billet de faveur" parmi les billets, ou vice versa - "pure horreur". Bien que les cas "uniques" ne soient pas exclus - après tout, il n'y a pas 3 millions de billets de loterie avec une probabilité presque nulle d'un gros gain. Par conséquent, « chance incroyable » ou « malchance » seront des déclarations trop exagérées. Même si Petya ne connaît que 3 billets sur 30, ses chances sont de 10 %, ce qui est bien supérieur à zéro. Et par expérience personnelle, je vais vous raconter le cas inverse : à l'examen de Géométrie analytique Je connaissais bien 24 questions sur 28, et donc - sur le ticket je suis tombé sur deux "mauvaises" questions ; Calculez vous-même la probabilité de cet événement :)

Les mathématiques et "l'expérience pure" sont bonnes, mais à quelle stratégie et tactique il est encore plus rentable d'adhérer en conditions réelles? Bien entendu, des facteurs subjectifs doivent être pris en compte, par exemple la « remise » du professeur pour les « braves » ou sa fatigue à la fin de l'examen. Souvent ces facteurs peuvent même être décisifs, mais dans le raisonnement final j'essaierai de ne pas négliger les aspects probabilistes supplémentaires :

Si vous êtes bien préparé pour l'examen, il est probablement préférable d'aller « aux premiers rangs ». Alors que les billets sont complets, le postulat « des événements improbables ne se produisent pas» Fonctionne beaucoup plus pour vous. Convenez qu'il est bien plus agréable d'avoir un ratio de « 30 billets, dont 2 sont mauvais » que de « 15 billets, dont 2 sont mauvais ». Et le fait que deux mauvais billets sur un seul examen (et non par l'estimation théorique moyenne !) restera sur la table - c'est tout à fait possible.

Regardons maintenant la « Petite situation » - lorsque l'étudiant est suffisamment prêt pour l'examen, mais d'un autre côté, il « nage » aussi bien. En d'autres termes, « il en sait plus qu'il n'en sait pas ». Dans ce cas, il est conseillé d'avancer 5 à 6 personnes, et d'attendre le bon moment en dehors du public. Agir en fonction de la situation. Très bientôt, les informations commenceront à circuler sur les billets tirés par les autres étudiants (événements dépendants encore !) , et vous ne pouvez plus gaspiller de l'énergie sur des questions "surjouées" - apprenez et répétez d'autres tickets, augmentant ainsi la probabilité initiale de votre succès. Si le "premier lot" d'examinateurs vous a "sauvé" immédiatement de 3 à 4 tickets difficiles (personnellement pour vous), il est alors plus rentable de se rendre à l'examen le plus tôt possible - en ce moment, les chances ont considérablement augmenté. Essayez de ne pas manquer le moment - quelques personnes ont sauté en avant, et l'avantage est susceptible de disparaître. Si, au contraire, il n'y a pas beaucoup de « mauvais » billets, attendez. Après quelques personnes, cette "anomalie" à nouveau avec une forte probabilité, sinon disparaître, s'est alors lissée pour le mieux. Dans le cas "habituel" et le plus courant, il y a aussi un avantage : l'alignement "24 tickets/8 mauvais" sera meilleur que le ratio "30 tickets/10 mauvais". Pourquoi? Les tickets difficiles ne sont plus dix, mais huit ! Nous étudions la matière avec une vigueur renouvelée !

Si vous êtes prêt, peu importe ou mal, alors bien sûr, il vaut mieux aller dans les "derniers rangs" (bien que des solutions originales soient également possibles, surtout s'il n'y a rien à perdre)... Il y a une probabilité faible, mais toujours non nulle, que vous vous retrouviez avec des questions relativement simples + bachotage + éperons supplémentaires, qui seront donnés par des camarades qui ont tiré =) Et, oui - dans une situation très critique, il y a toujours le lendemain quand la deuxième partie du groupe passe l'examen ;-)