Définition d'un monôme : concepts associés, exemples. Notion de monôme

Leçon sur le thème : "Forme standard d'un monôme. Définition. Exemples"

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Monôme. Définition

Monôme est une expression mathématique qui est le produit d'un facteur premier et d'une ou plusieurs variables.

Les monômes comprennent tous les nombres, les variables, leurs degrés avec un exposant naturel :
42 ; 3 ; 0 ; 6 2; 2 3; b 3 ; hache 4 ; 4x 3 ; 5a 2 ; 12xyz 3.

Il est souvent difficile de déterminer si une expression mathématique donnée fait référence ou non à un monôme. Par exemple, $ \ frac (4a ^ 3) (5) $. Est-ce monôme ou pas ? Pour répondre à cette question, il est nécessaire de simplifier l'expression, c'est-à-dire représentent sous la forme : $ \ frac (4) (5) * a ^ 3 $.
On peut dire avec certitude que cette expression est un monôme.

Type standard de monôme

Lors du calcul, il est souhaitable de mettre le monôme sous une forme standard. C'est la notation la plus concise et la plus compréhensible pour un monôme.

L'ordre de réduction du monôme à la forme standard est le suivant :
1. Multipliez les coefficients du monôme (ou des facteurs numériques) et placez le résultat en premier.
2. Sélectionnez tous les degrés avec la même lettre de base et multipliez-les.
3. Répétez l'étape 2 pour toutes les variables.

Exemples.
I. Réduisez le monôme donné $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ à la forme standard.

Décision.
1. Multipliez les coefficients du monôme $ 15x ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Maintenant, nous donnons des termes similaires $ 15x ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Réduisez le monôme donné $ 5a ^ 2b ^ 3 * \ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ à la forme standard.

Décision.
1. Multiplions les coefficients du monôme $ \ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. On donne maintenant des termes similaires $ \ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.

Dans cette leçon, nous donnerons une définition stricte d'un monôme, examinerons divers exemples du manuel. Rappelons les règles de multiplication des degrés avec les mêmes bases. Donnons une définition de la forme standard d'un monôme, le coefficient d'un monôme et sa partie lettre. Considérons deux actions typiques de base sur les monômes, à savoir la réduction à la forme standard et le calcul d'une valeur numérique spécifique d'un monôme pour des valeurs données de ses variables alphabétiques. Formulons une règle pour réduire un monôme à une forme standard. Nous allons apprendre à résoudre des problèmes typiques avec des monômes.

Matière:Monômes. Opérations arithmétiques sur les monômes

Leçon:Le concept d'un monôme. Type standard de monôme

Considérez quelques exemples :

3. ;

Trouvons des caractéristiques communes pour les expressions ci-dessus. Dans les trois cas, l'expression est le produit de nombres et de variables élevé à une puissance. Sur cette base, nous donnons définition monôme : Un monôme est une expression algébrique qui consiste en le produit de degrés et de nombres.

Nous allons maintenant donner des exemples d'expressions qui ne sont pas des monômes :

Trouvons la différence entre ces expressions et les précédentes. Elle consiste dans le fait que dans les exemples 4 à 7 il y a des opérations d'addition, de soustraction ou de division, alors que dans les exemples 1 à 3, qui sont des monômes, ces opérations ne le sont pas.

Voici d'autres exemples :

L'expression 8 est un monôme, puisqu'elle est le produit d'une puissance par un nombre, alors que l'exemple 9 n'est pas un monôme.

Voyons maintenant actions sur les monômes .

1. Simplification. Prenons l'exemple n° 3 ; et exemple #2 /

Dans le deuxième exemple, nous ne voyons qu'un seul coefficient -, chaque variable n'apparaît qu'une seule fois, c'est-à-dire la variable " mais"Est présenté en un seul exemplaire, comme" ", de même, les variables" "et" "n'apparaissent qu'une seule fois.

Dans l'exemple n° 3, au contraire, il y a deux coefficients différents - et, nous voyons la variable "" deux fois - comme "" et comme "", de même la variable "" apparaît deux fois. C'est-à-dire que cette expression doit être simplifiée, nous arrivons donc à la première action effectuée sur les monômes est de réduire le monôme à la forme standard ... Pour ce faire, amenons l'expression de l'exemple 3 dans une forme standard, puis définissons cette opération et apprenons à amener n'importe quel monôme dans une forme standard.

Alors, considérons un exemple :

La première étape de l'opération de conversion vers la forme standard consiste toujours à multiplier tous les facteurs numériques :

;

Le résultat de cette action sera appelé coefficient monôme .

Ensuite, vous devez multiplier les degrés. On multiplie les puissances de la variable " X"Selon la règle de multiplication des degrés avec les mêmes bases, qui dit qu'en multipliant les exposants s'additionnent :

maintenant on multiplie les pouvoirs" à»:

;

Voici donc une expression simplifiée :

;

Tout monôme peut être réduit à une forme standard. formulons règle de normalisation :

Multipliez tous les facteurs numériques ;

Mettez le coefficient résultant en premier lieu;

Multipliez tous les degrés, c'est-à-dire obtenez la partie lettre;

C'est-à-dire que tout monôme est caractérisé par un coefficient et une partie lettre. En regardant vers l'avenir, nous notons que les monômes qui ont la même partie de lettre sont appelés similaires.

Maintenant tu dois t'entraîner la technique de réduction des monômes à la forme standard ... Considérez les exemples du didacticiel :

Tâche : amener le monôme au formulaire standard, nommer le coefficient et la partie lettre.

Pour terminer la tâche, nous utiliserons la règle de réduction du monôme à la forme standard et les propriétés des degrés.

1. ;

3. ;

Commentaires sur le premier exemple: Tout d'abord, nous allons déterminer si cette expression est bien un monôme, pour cela nous allons vérifier si elle contient des opérations de multiplication de nombres et de puissances et si elle contient des opérations d'addition, de soustraction ou de division. On peut dire que cette expression est un monôme, puisque la condition ci-dessus est satisfaite. De plus, selon la règle de réduction du monôme à la forme standard, nous multiplions les facteurs numériques :

- on a trouvé le coefficient d'un monôme donné ;

; ; ; c'est-à-dire que la partie littérale de l'expression est reçue :;

écrivez la réponse : ;

Commentaires sur le deuxième exemple: En suivant la règle, nous effectuons :

1) multiplier les facteurs numériques :

2) multiplier les puissances :

Les variables sont présentées en un seul exemplaire, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent être multipliées par rien, elles sont réécrites sans modifications, le degré est multiplié :

Écrivons la réponse :

;

Dans cet exemple, le coefficient du monôme est égal à un et la partie alphabétique l'est.

Commentaires sur le troisième exemple : un Taxiquement aux exemples précédents, nous effectuons les actions :

1) multiplier les facteurs numériques :

;

2) multiplier les puissances :

;

écrivez la réponse : ;

Dans ce cas, le coefficient du monôme est "", et la partie lettre .

Considérez maintenant la deuxième opération standard sur les monômes ... Puisqu'un monôme est une expression algébrique constituée de variables littérales pouvant prendre des valeurs numériques spécifiques, nous avons une expression numérique arithmétique qui doit être calculée. C'est-à-dire que l'opération suivante sur les polynômes est calculer leur valeur numérique spécifique .

Regardons un exemple. Un monôme est donné :

ce monôme a déjà été réduit à la forme standard, son coefficient est égal à un, et la partie alphabétique

Nous avons dit plus haut qu'une expression algébrique ne peut pas toujours être calculée, c'est-à-dire que les variables qui y sont incluses ne peuvent prendre aucune valeur. Dans le cas d'un monôme, les variables qu'il contient peuvent être n'importe lesquelles, c'est une caractéristique du monôme.

Ainsi, dans l'exemple donné, il est nécessaire de calculer la valeur du monôme à,,,.

Monôme est une expression qui est le produit de deux ou plusieurs facteurs, dont chacun est un nombre exprimé par une lettre, des nombres ou une puissance (avec un entier non négatif) :

2une, une 3 X, 4abc, -7X

Étant donné que le produit des mêmes facteurs peut être écrit sous la forme d'un degré, un degré pris séparément (avec un exposant entier non négatif) est également un monôme :

(-4) 3 , X 5 ,

Puisqu'un nombre (entier ou fractionnaire), exprimé en lettres ou en chiffres, peut être écrit comme le produit de ce nombre par un, alors tout nombre pris séparément peut également être considéré comme un monôme :

X, 16, -une,

Type standard de monôme

Type standard de monôme est un monôme avec un seul facteur numérique, qui doit être écrit en premier lieu. Toutes les variables sont classées par ordre alphabétique et ne sont contenues dans le monôme qu'une seule fois.

Les nombres, les variables et les degrés de variables font également référence aux monômes de la forme standard :

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monômes de type standard.

Le facteur numérique d'un monôme de la forme standard est appelé coefficient monôme... Les coefficients monômes égaux à 1 et -1 ne sont généralement pas écrits.

S'il n'y a pas de facteur numérique dans le monôme de la forme standard, alors on suppose que le coefficient du monôme est 1 :

X 3 = 1 X 3

S'il n'y a pas de facteur numérique dans un monôme de la forme standard et qu'un signe moins le précède, on suppose que le coefficient du monôme est -1 :

-X 3 = -1 X 3

Réduction d'un monôme à une forme standard

Pour amener un monôme à un formulaire standard, vous avez besoin de :

1. Multipliez les facteurs numériques, s'il y en a plusieurs. Augmenter un facteur numérique à une puissance s'il a un exposant. Mettez un facteur numérique en premier.
2. Multipliez toutes les mêmes variables pour que chaque variable n'apparaisse qu'une seule fois dans le monôme.
3. Organisez les variables après un facteur numérique dans l'ordre alphabétique.

Exemple. Présentez un monôme sous sa forme standard :

a) 3 yx 2 (-2) oui 5 X; b) 6 avant JC 0,5 un B 3

Décision:

a) 3 yx 2 (-2) oui 5 X= 3 (-2) X 2 Xouioui 5 = -6X 3 oui 6
b) 6 avant JC 0,5 un B 3 = 6 0,5 un Bb 3 c = 3un B 4 c

Degré monôme

Degré monôme est la somme des exposants de toutes les lettres qu'il contient.

Si un monôme est un nombre, c'est-à-dire qu'il ne contient pas de variables, alors son degré est considéré égal à zéro. Par example:

5, -7, 21 - monômes à zéro degré.

Par conséquent, pour trouver le degré d'un monôme, vous devez déterminer l'exposant de chacune des lettres qu'il contient et ajouter ces indicateurs. Si l'exposant de la lettre n'est pas spécifié, alors il est égal à un.

Exemples:

Alors comment ça va X l'exposant n'est pas spécifié, ce qui signifie qu'il est égal à 1. Le monôme ne contient pas d'autres variables, son degré est donc 1.

Le monôme ne contient qu'une variable au second degré, ce qui signifie que le degré de ce monôme est 2.

3) un B 3 c 2 ré

Indicateur une est égal à 1, exposant b- 3, indicateur c- 2, indicateur ré- 1. Le degré d'un monôme donné est égal à la somme de ces indicateurs.

1. Coefficient positif entier. Supposons que nous ayons un monôme + 5a, puisque le nombre positif +5 est considéré comme coïncident avec le nombre arithmétique 5, alors

5a = a 5 = a + a + a + a + a.

Aussi + 7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² ; + 3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; + 2abc = abc ∙ 2 = abc + abc et ainsi de suite.

Sur la base de ces exemples, nous pouvons établir qu'un coefficient entier positif indique combien de fois le facteur lettre (ou : le produit de facteurs lettre) d'un monôme est répété par l'addend.

Il faut s'y habituer à tel point qu'il apparaît immédiatement dans l'imagination que, par exemple, dans le polynôme

3a + 4a² + 5a³

l'affaire se réduit au fait que d'abord a² est répété 3 fois par la sommation, puis a³ est répété 4 fois par la sommation et ensuite a est répété 5 fois par la sommation.

Aussi : 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.

2. Facteur fractionnaire positif. Soit un monôme + a. Puisqu'un nombre positif + coïncide avec un nombre arithmétique, alors + a = a ∙, ce qui signifie : il faut prendre les trois quarts du nombre a, c'est-à-dire

Par conséquent : un coefficient positif fractionnaire montre combien de fois et quelle partie du facteur de lettre d'un monôme est répétée par l'addend.

Polynôme devrait être facilement imaginé sous la forme :

etc.

3. Coefficient négatif. Connaissant la multiplication des nombres relatifs, on peut facilement établir que, par exemple, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) ou (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) ou généralement a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) ; aussi a (-) = (–a) ∙ (+), etc.

Par conséquent, si nous prenons un monôme avec un coefficient négatif, par exemple, -3a, alors

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = - a - a - a (–a est pris comme terme 3 fois).

À partir de ces exemples, nous voyons que le coefficient négatif montre combien de fois la partie lettre du monôme, ou sa certaine fraction, prise avec un signe moins, est répétée par le terme.

Degré monôme

Pour un monôme, il y a la notion de son degré. Voyons ce que c'est.

Définition.

Degré monôme la forme standard est la somme des exposants de toutes les variables incluses dans son enregistrement ; s'il n'y a pas de variables dans l'enregistrement d'un monôme, et qu'il est différent de zéro, alors son degré est considéré égal à zéro ; le nombre zéro est considéré comme un monôme dont le degré n'est pas défini.

Déterminer le degré d'un monôme permet de donner des exemples. Le degré d'un monôme a est égal à un, puisque a est un 1. Le degré d'un monôme 5 est nul, puisqu'il est non nul, et sa notation ne contient aucune variable. Et le produit 7 a 2 x y 3 a 2 est un monôme du huitième degré, puisque la somme des exposants de toutes les variables a, x et y est 2 + 1 + 3 + 2 = 8.

Soit dit en passant, le degré d'un monôme non écrit sous la forme standard est égal au degré du monôme correspondant sous la forme standard. Pour illustrer ce qui vient d'être dit, on calcule le degré du monôme 3 x 2 ans 3 x (−2) x 5 ans... Ce monôme sous la forme standard a la forme -6 x 8 y 4, son degré est 8 + 4 = 12. Ainsi, le degré du monôme original est 12.

Coefficient monôme

Un monôme sous la forme standard, qui a au moins une variable dans sa notation, est un produit avec un seul facteur numérique - un coefficient numérique. Ce coefficient est appelé coefficient du monôme. Formulons le raisonnement ci-dessus sous la forme d'une définition.

Définition.

Coefficient monôme Est le facteur numérique d'un monôme écrit sous la forme standard.

Nous pouvons maintenant donner des exemples de coefficients de différents monômes. Le nombre 5 est le coefficient du monôme 5 · a 3 par définition, de même, le monôme (−2.3) · x · y · z a un coefficient de -2.3.

Les coefficients des monômes égaux à 1 et -1 méritent une attention particulière. Le point ici est qu'ils ne sont généralement pas explicitement présents dans le dossier. On considère que le coefficient des monômes de la forme standard, qui n'ont pas de facteur numérique dans leur enregistrement, est égal à un. Par exemple, les monômes a, x z 3, a t x, etc. ont un coefficient de 1, puisque a peut être considéré comme 1 a, x z 3 - comme 1 x z 3, etc.

De même, le coefficient des monômes dont les entrées dans la forme standard n'ont pas de facteur numérique et commencent par un signe moins est considéré comme un moins. Par exemple, les monômes -x, -x 3 y z 3, etc. ont un coefficient −1, puisque −x = (- 1) x, −x 3 y z 3 = (- 1) x 3 y z 3 etc.

Soit dit en passant, le concept de coefficient monôme est souvent appelé monômes standard, qui sont des nombres sans facteurs alphabétiques. Ces nombres sont considérés comme les coefficients de ces nombres monômes. Ainsi, par exemple, le coefficient d'un monôme 7 est considéré égal à 7.

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