Formules et propriétés du rectangle. Rectangle

Définition.

Rectangle - Il s'agit d'un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux à tous les quatre angles de la même manière.

Les rectangles ne diffèrent que par le ratio du côté long aux courts courts, mais tous les quatre coins ont direct, c'est-à-dire de 90 degrés.

Le côté long du rectangle est appelé longueur de longueur, et court - largeur rectangle.

Le côté du rectangle est simultanément ses hauteurs.

Les principales propriétés du rectangle

Le rectangle peut être parallélogramme, carré ou losange.

1. Les directions opposées du rectangle ont la même longueur, c'est-à-dire qu'ils sont égaux:

Ab \u003d cd, bc \u003d ad

2. Les directions opposées du rectangle sont parallèles:

3. Les directions adjacentes du rectangle sont toujours perpendiculaires à:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Les quatre coins rectangés sont directs:

∠ABC \u003d ∠BCD \u003d ∠CDA \u003d ∠DAB \u003d 90 °

5. La somme des coins du rectangle est de 360 \u200b\u200bdegrés:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB \u003d 360 °

6. La diagonale du rectangle a la même longueur:

7. La somme des carrés de la diagonale du rectangle est égale à la somme des carrés des côtés:

2D 2 \u003d 2A 2 + 2B 2

8. Chaque diagonale du rectangle divise le rectangle en deux figures identiques, à savoir sur des triangles rectangulaires.

9. Les diagonales du rectangle intersect et au point d'intersection sont divisées de moitié:

		Ao \u003d bo \u003d co \u003d do \u003d	rÉ.
			2

10. Le point d'intersection des diagonales s'appelle le centre du rectangle et est également le centre du cercle décrit

11. La diagonale du rectangle est le diamètre du cercle décrit

12. Un cercle peut toujours être décrit autour du rectangle, car la somme des angles opposés est de 180 degrés:

∠ABC \u003d ∠CDA \u003d 180 ° ∠BCD \u003d ∠DAB \u003d 180 °

13. Dans un rectangle, dans lequel la longueur n'est pas égale à la largeur, il est impossible d'entrer dans le cercle, car les sommes des côtés opposées ne sont pas égales les unes aux autres (il est possible d'entrer dans le cercle uniquement dans un cas particulier d'un rectangle - un carré).

Côté du rectangle

Définition.

Longueur de longueur Appelez la longueur d'une paire plus longue de ses côtés. Largeur rectangle Appelez la longueur d'une paire plus courte de ses côtés.

Formules pour déterminer les longueurs du côté du rectangle

1. Formule du côté du rectangle (longueurs et largeurs du rectangle) à travers la diagonale et de l'autre côté:

a \u003d √ d 2 - B 2

b \u003d √ d 2 - A 2

2. Formule du côté du rectangle (longueurs et largeurs du rectangle) à travers la zone et de l'autre côté:

b \u003d d cos	β
	2

Rectangle diagonal

Définition.

Rectangle diagonal Il s'appelle n'importe quel segment reliant deux sommets de coins opposés du rectangle.

Formules pour déterminer la longueur de la diagonale du rectangle

1. La formule de la diagonale du rectangle à travers les deux côtés du rectangle (à travers le théorème de Pythagore):

d \u003d √ a 2 + B 2

2. La formule de la diagonale du rectangle à travers la zone et n'importe quel côté:

4. La formule de la diagonale du rectangle à travers le rayon du cercle décrit:

d \u003d 2R.

5. Formule de la diagonale du rectangle à travers le diamètre du cercle décrit:

d \u003d d à propos de

6. La formule de la diagonale du rectangle à travers le singe de l'angle adjacent à la diagonale et la longueur du côté opposé à ce coin:

8. La formule de la diagonale du rectangle à travers le sinus d'un coin tranchant entre les diagonales et la zone du rectangle

d \u003d √2S: péché β.

Périmètre de rectangle

Définition.

Périmètre rectangle La somme des longueurs de tous les côtés du rectangle est appelée.

Formules pour déterminer la longueur du périmètre du rectangle

1. Périmètre de formule du rectangle à travers les deux côtés du rectangle:

P \u003d 2a + 2b

P \u003d 2 (A + B)

2. Périmètre de formule du rectangle à travers la zone et n'importe quel côté:

P \u003d.	2s + 2a 2	=	2S + 2B 2
	uNE.		b.

3. Périmètre de formule du rectangle à travers une diagonale et n'importe quel côté:

P \u003d 2 (A + √ d 2 - A 2) \u003d 2 (B + √ d 2 - B 2)

4. Formule du périmètre du rectangle à travers le rayon du cercle décrit et n'importe quel côté:

P \u003d 2 (A + √4R 2 - a 2.) \u003d 2 (B + √4R 2 - b 2.)

5. Périmètre de formule du rectangle à travers le diamètre du cercle décrit et de n'importe quel côté:

P \u003d 2 (a + √d o 2 - a 2.) \u003d 2 (b + √d o 2 - b 2.)

Rectangle carré

Définition.

Rectangle carré Il est appelé espace limité par les côtés du rectangle, c'est-à-dire dans le périmètre du rectangle.

Formules de définition carrée rectangle

1. La formule de la zone rectangle à travers deux côtés:

S \u003d a · b

2. La formule de la zone du rectangle à travers le périmètre et n'importe quel côté:

5. La formule de la zone rectangle à travers le rayon du cercle décrit et n'importe quel côté:

S \u003d A √4R 2 - a 2. \u003d B √4r 2 - b 2.

6. La formule de la zone rectangle à travers le diamètre du cercle décrit et n'importe quel côté:

S \u003d a √d o 2 - a 2. \u003d B √d \u200b\u200bo 2 - b 2.

Cercle décrit autour d'un rectangle

Définition.

Cercle décrit autour d'un rectangle Le cercle passant à travers quatre sommets du rectangle, dont le centre se situe à l'intersection des diagonales du rectangle.

Les formules pour déterminer le rayon de cercle décrit autour du rectangle

1. La formule du rayon de cercle décrit autour du rectangle par deux côtés:

Rectangle - Ceci est un quadrilatère, dont l'angle est direct.

Preuve

La propriété est expliquée par l'action d'un signe 3 parallélogramme (c'est-à-dire \\ angle A \u003d \\ angle c, \\ angle b \u003d \\ angle d)

2. Les parties opposées sont égales.

Ab \u003d cd, \\ enspace bc \u003d ad

3. Les côtés opposés sont parallèles.

AB \\ CD parallèle, \\ Enspace BC \\ AD parallèle

4. Les parties adjacentes sont perpendiculaires les unes aux autres.

AB \\ PERMC BC, \\ ENSPACE BC \\ PERP CD, \\ ENSPACE CD \\ PERP AD, \\ ENSPACE ad \\ perpb AB

5. Les diagonales rectangulaires sont égaux.

AC \u003d BD.

Preuve

Selon propriété 1. Le rectangle est un parallélogramme, ce qui signifie AB \u003d CD.

Par conséquent, \\ triangle ABD \u003d \\ triangle DCA sur deux catégories (AB \u003d CD et Joint ad-joint).

Si les deux chiffres sont ABC et DCA sont identiques, leurs hypotéluses BD et AC sont également identiques.

Donc, AC \u003d BD.

Seulement au rectangle de tous les chiffres (uniquement des parallélogrammes!) Sont égaux à la diagonale.

Nous le prouvons.

ABCD - parallélogramme \\ Rightarrow AB \u003d CD, AC \u003d BD par condition. \\ Rightarrow \\ triangle abd \u003d \\ triangle dca Déjà en trois parties.

Il s'avère que \\ angle a \u003d \\ angle d (comme coins du parallélogramme). Et \\ angle a \u003d \\ angle c, \\ angle b \u003d \\ angle d.

Nous déposons que \\ angle A \u003d \\ angle b \u003d \\ angle c \u003d \\ angle d. Tous sont 90 ^ (\\ circ). En somme - 360 ^ (\\ circ).

Éprouvé!

6. Le carré est en diagonale égale à la somme des carrés des deux côtés adjacents.

Cette propriété est juste en raison du théorème de Pythagore.

AC ^ 2 \u003d AD ^ 2 + CD ^ 2

7. La diagonale divise le rectangle en deux triangles rectangulaires identiques.

\\ Triangle ABC \u003d \\ triangle ACD, \\ ENSPACE \\ TRIANGLE ABD \u003d \\ TRIANGLE BCD

8. Le point d'intersection des diagonales les divise en deux.

Ao \u003d bo \u003d co \u003d faire

9. Le point d'intersection des diagonales est le centre du rectangle et la circonférence décrite.

10. La somme de tous les angles est de 360 \u200b\u200bdegrés.

\\ Angle abc + \\ angle BCD + \\ angle CDA + \\ angle dab \u003d 360 ^ (\\ circ)

11. Tous les coins rectangés sont droits.

\\ Angle abc \u003d \\ angle BCD \u003d \\ angle CDA \u003d \\ angle dab \u003d 90 ^ (\\ circ)

12. Le diamètre de la circonférence décrite près du rectangle est égal à la diagonale du rectangle.

13. Autour du rectangle peut toujours décrire le cercle.

Cette propriété est juste en raison du fait que la somme des coins opposés du rectangle est de 180 ^ (\\ circ)

\\ Angle abc \u003d \\ angle CDA \u003d 180 ^ (\\ circ), \\ Enspace \\ angle BCD \u003d \\ angle dab \u003d 180 ^ (\\ circ)

14. Le rectangle peut contenir le cercle inscrit et un seul s'il a les mêmes longueurs des côtés (est un carré).

Évaluation du membre résiduel de la formule: , ou alors .

Nomination de service. Le service est destiné au calcul en ligne d'une intégrale spécifique de la formule de rectangles.

Instruction. Entrez une fonction source F (x), cliquez sur ROLSVE. La solution obtenue est enregistrée dans le fichier Word. Crée également un modèle de solution dans Excel. Vous trouverez ci-dessous une instruction vidéo.

Règles de saisie de la fonction

Exemples
≡ x ^ 2 / (1 + x)
COS 2 (2x + π) (COS (2 * x + PI)) ^ 2
≡ x + (x - 1) ^ (2/3) est la formule la plus simple en quadrature pour calculer l'intégrale, dans laquelle une valeur de fonction est utilisée
(1)
où; H \u003d x 1 -x 0.
La formule (1) est une formule centrale de rectangles. Calculer le membre résiduel. Nous décomposons dans une série de la fonction Taylor Y \u003d F (x) au point 0:
(2)
où ε 1; x∈. Intégration (2):
(3)

Au second terme, la fonction intégrée est impair et les limites d'intégration sont symétriques par rapport au point ε 0. Par conséquent, la deuxième intégrale est nulle. Ainsi, de (3) suit .
T. K. Le deuxième multiplicateur de l'intégrande ne change pas le signe, puis par le théorème de la moyenne que nous obtiendrons où. Après l'intégration, nous obtenons . (4)
Comparaison avec l'élément résiduel de la formule du trapez, nous constatons que l'erreur de la formule des rectangles est deux fois inférieure à l'erreur de la formule du trapèze. Ce résultat est fidèle si nous prenons la fonction de la fonction dans le milieu de la formule du rectangle.
Nous obtenons la formule de rectangles et de membres résiduels pour l'intervalle. Laissez le maillage x i \u003d a + ih, i \u003d 0,1, ..., n, h \u003d x i + 1 -x i. Considérons le maillage ε i \u003d ε 0 + ih, i \u003d 1,2, .., n, ε 0 \u003d a - h / 2. Puis . (5)
Bite résiduelle .
Géométriquement, la formule de rectangles peut être représentée comme suit:

Si la fonction F (x) est définie des tables, il est utilisé soit une formule de rectangles de gauche (pour un maillage uniforme)

soit formule rectangulaire droitier

.
L'erreur de ces formules est estimée à travers la première dérivée. Pour intervalle, l'erreur est égale

; .
Après l'intégration, nous obtenons.

Exemple. Calculer l'intégrale à n \u003d 5:
a) par la formule du trapez
b) selon la formule de rectangles;
c) selon la formule de Simpson;
d) selon la formule de Gauss;
e) Selon la formule de Chebyshev.
Calculer l'erreur.
Décision. Pour 5 nœuds d'intégration, l'étape de la grille sera 0,125.
Lorsque vous résolvez, nous utiliserons la table des valeurs de fonction. Ici f (x) \u003d 1 / x.

	x.		f (x)
x0.	0.5	y0.	2
x1	0.625	y1.	1.6
x2	0.750	y2.	1.33
x3.	0.875	y3.	1.14
x4.	1.0	y4.	1

a) Formule du trapèze:
I \u003d h / 2 ×;
I \u003d (0.125 / 2) × \u003d \u003d 0.696;
R \u003d [- (B - A) / 12] × H × y ¢¢ (x);
f ¢¢ (x) \u003d 2 / (x 3).
La valeur maximale de la deuxième fonction dérivée à l'intervalle est de 16: max (f ¢¢ (x)), xα \u003d 2 / (0,5 3) \u003d 16, donc
R \u003d [- (1-0.5) / 12] × 0,125 × 16 \u003d - 0.0833;
b) Formule rectangle:
pour formule gauche i \u003d H × (Y0 + Y1 + Y2 + Y3);
I \u003d 0,125 × (2 + 1,6 + 1,33 + 1.14) \u003d 0.759;
R \u003d [(B-A) / 6] × H 2 × y ¢¢ (x);
R \u003d [(1-0.5) / 6] × 0.125 2 × 16 \u003d 0.02;
c) Formule Simpson:
I \u003d (2h / 6) × (Y0 + Y4 + 4 × (Y1 + Y3) + 2 × Y2);
I \u003d (2 × 0,125) / 6 × (2 + 1 + 4 × (1.6 + 1.14) + 2 × 1,33) \u003d 0.693;
R \u003d [- B - A) / 180] × H 4 × y (4) (x);
f (4) (x) \u003d 24 / (x 5) \u003d 768;
R \u003d [- (1-0.5) / 180] × (0,125) 4 × 768 = - 5.2 e.-4;
d) Formule Gauss:
I \u003d (B-A) / 2 ×;
x i \u003d (b + a) / 2 + t i (B-A) / 2
(A i, t i - valeurs tabulaires).

				t (n \u003d 5)		A (n \u003d 5)
x1	0.9765	y1.	1.02	t 1.	0.90617985	A 1.	0.23692688
x2	0.8846	y2.	1.13	t 2.	0.53846931	A 2.	0.47862868
x3.	0.75	y3.	1.33	t 3.	0	A 3.	0.56888889
x4.	0.61	y4.	1.625	t 4.	-0.53846931	A 4.	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t 5.	-0.90617985	A 5.	0.23692688

I \u003d (1-0.5) / 2 × (0,2416 + 0.5408 + 0.7566 + 0.7777 + 0.4525) \u003d 0.6923;
e) Formule Chebyshev:
I \u003d [(B-A) / N] × s f (x i), i \u003d 1..n,
x I \u003d (B + A) / 2 + [T i (B - A)] / 2 est nécessaire pour apporter l'intervalle d'intégration à l'intervalle [-1; 1].
Pour n \u003d 5

t1.	0.832498
t2.	0.374541
t3.	0
t4.	-0.374541
t5.	-0.832498

Trouvez les valeurs X et les valeurs de la fonction à ces points:

x1	0,958	f (x1)	1,043
x2	0,844	f (x2)	1,185
x3.	0,75	f (x3)	1,333
x4.	0,656	f (x4)	1,524
x5	0,542	f (x5)	1,845

La somme des valeurs de la fonction est égale à 6,927.
I \u003d (1-0.5) / 5 × 6 927 \u003d 0.6927.

En général formule rectangles à gauchesur la coupe comme suit (21) :

Dans cette formule x. 0 \u003d a, x n. \u003d B.Depuis toute intégrale d'apparence générale: (voir la formule 18 ).

h peut être calculé par la formule 19 .

y. 0 , y. 1 ..., y n-1 x. 0 , X. 1 ..., X n-1 (x. jE. \u003d X. i-1. + H.).

Formule des rectangles droits.

En général formule des rectangles droitssur la coupe comme suit (22) :

Dans cette formule x. 0 \u003d a, x n. \u003d B.(Voir la formule pour les rectangles de gauche).

h peut être calculé par la même formule que dans la formule pour les rectangles gauche.

y. 1 , y. 2 ..., y n. - ce sont les valeurs de la fonction correspondante f (x) aux points x. 1 , X. 2 ..., X n. (x. jE. \u003d X. i-1. + H.).

La formule de rectangles moyens.

En général la formule des rectangles moyenssur la coupe comme suit (23) :

Où x. jE. \u003d X. i-1. + H..

Dans cette formule, comme dans la précédente, il nécessite H multipliant la quantité des valeurs de la fonction F (x), mais non seulement de substituer les valeurs correspondantes. x. 0 , X. 1 ..., X n-1 fonctionner f (x) et ajouter à chacune de ces valeurs h / 2.(x 0 + h / 2, x 1 + h / 2, ..., x n - 1 + h / 2), puis les substituant que dans une fonction donnée.

h peut être calculé par la même formule que dans la formule pour les rectangles gauche. "[ 6 ]

En pratique, ces méthodes sont mises en œuvre comme suit:

Mathcad. ;

Exceller .

Mathcad. ;

Exceller .

Afin de calculer l'intégrale par la formule rectangle moyenne dans Excel, les étapes suivantes doivent être effectuées:

Continuez à travailler dans le même document que lors du calcul de l'intégrale sur les formules des rectangles gauche et droit.

Dans la cellule E6, entrez le texte XI + H / 2 et dans F6 - F (XI + H / 2).

Entrez dans la cellule E7 formule \u003d B7 + $ B $ 4/2, copiez cette formule en étirant dans la gamme de cellules E8: E16

Entrez dans la formule de cellule F7 \u003d racine (E7 ^ 4-E7 ^ 3 + 8), copiez cette formule en étirant dans la gamme de cellules F8: F16

Entrez dans la formule de cellule F18 \u003d SUMS (F7: F16).

Entrez dans la formule de cellule F19 \u003d B4 * F18.

Entrez le texte du support dans la cellule F20.

En conséquence, nous obtenons ce qui suit:

Réponse: La valeur de l'intégrale spécifiée est de 13 40797.

Sur la base des résultats obtenus, on peut conclure que la formule de rectangles moyens est la plus précise que les formules des rectangles droit et gauche.

1. Méthode Monte Carlo

"L'idée principale de la méthode de Monte Carlo est la répétition répétée de tests aléatoires. Une caractéristique de la méthode de Monte Carlo consiste à utiliser des nombres aléatoires (valeurs numériques de certaines variables aléatoires). Ces numéros peuvent être obtenus à l'aide d'aléatoire Capteurs de nombres. Par exemple, dans le langage de programmation Turbo Pascal. Fonction standard aléatoire , dont les valeurs sont des nombres aléatoires, uniformément distribuées sur le segment . Dit que si vous divisez le segment spécifié pour un certain nombre d'intervalles égaux et calculez la valeur de la fonction aléatoire grand nombre Une fois, dans chaque intervalle, environ le même nombre de nombres aléatoires tombera. Le langage de la programmation du bassin Le capteur similaire est la fonction RND. Dans la fonction de processeur de table MS Excel Fonction Adhésif Renvoie un nombre aléatoire de manière uniformément distribué supérieur ou égal à 0 et moins 1 (changements lors de la recalculition) "[ 7 ].

Afin de le calculer, vous devez utiliser la formule () :

Où (i \u003d 1, 2, ..., n) - des nombres aléatoires situés dans l'intervalle .

Pour obtenir de tels numéros basés sur la séquence de nombres aléatoires x i i, répartis uniformément dans l'intervalle, il suffit d'effectuer la conversion x i \u003d A + (B-A) x i.

En pratique, cette méthode est mise en œuvre comme suit:

Afin de calculer l'intégrale de Monte Carlo dans Excel, vous devez procéder comme suit:

Dans la cellule B1, entrez le texte n \u003d.

Dans la cellule B2, entrez le texte A \u003d.

Dans la cellule B3, entrez le texte B \u003d.

Dans la cellule C1, entrez le numéro 10.

Dans la cellule C2, entrez le numéro 0.

Dans la cellule C3, entrez le nombre 3.2.

Dans la cellule A5, entrez I, dans B5 - XI, en C5 - F (XI).

Cellules A6: A15 Remplissez par les nombres 1,2,3, ..., 10 - depuis n \u003d 10.

Entrez dans la cellule B6 Formula \u003d Adheshes () * 3.2 (la génération de nombres dans la plage de 0 à 3.2), copiez cette formule en étirant dans la gamme de cellules B7: B15.

Entrez dans la formule de cellule C6 \u003d racine (B6 ^ 4-B6 ^ 3 + 8), copiez cette formule en étirant dans la gamme de cellules C7: C15.

Introduisez le texte "montant" en B16 en B16 - "(B - A) / N", en B18 - "I \u003d".

Touche dans la formule cellulaire C16 \u003d SUMS (C6: C15).

Passez à la formule de cellule C17 \u003d (C3-C2) / C1.

Touche dans la cellule C18 Formula \u003d C16 * C17.

En conséquence, nous obtenons:

Réponse: La valeur de l'intégrale spécifiée est de 13 12416.

L'un des concepts de base des mathématiques est le périmètre du rectangle. Il existe de nombreuses tâches sur ce sujet, lors de la résolution de laquelle il n'est pas nécessaire sans la formule de périmètre et ses compétences de calcul.

Concepts de base

Le rectangle est un quadrilatère qui a tous les angles directs et les côtés opposés sont égaux et parallèles parallèles. Dans nos vies, de nombreux chiffres ont une forme rectangle, par exemple une surface de table, un ordinateur portable, etc.

Considérons un exemple: Selon les limites de la terre, il est nécessaire de mettre une clôture. Afin de déterminer la longueur de chaque côté doit être mesurée.

Figure. 1. Terrain d'un rectangle.

L'intrigue terrestre a une fête à une longueur de 2 m., 4 m., 2 m., 4 m. Parce que l'ensemble de l'apprentissage de la longueur de la clôture doit être ajouté aux longueurs de tous les côtés:

2 + 2 + 4 + 4 \u003d 2 · 2 + 4 · 2 \u003d (2 + 4) · 2 \u003d 12 m.

C'est cette valeur dans le cas général et s'appelle un périmètre. Ainsi, pour trouver le périmètre, il est nécessaire de plier tous les côtés de la figure. Pour la désignation du périmètre, utilisez la lettre P.

Pour calculer le périmètre de la figure rectangulaire, il n'est pas nécessaire de la diviser sur des rectangles, vous devez mesurer la ligne (roulette) uniquement sur tous les côtés de cette figure et trouver leur somme.

Le périmètre du rectangle est mesuré en mm., Voir, m., Km et ainsi de suite. Si nécessaire, les données de la tâche sont traduites dans le même système de mesure.

Le périmètre du rectangle est mesuré en différentes unités: mm., Voir, m., Km et ainsi de suite. Si nécessaire, les données de la tâche sont traduites en un système de mesure.

Figure de la formule Périmètre

Si vous prenez votre attention, le fait que les côtés opposés du rectangle sont égaux, vous pouvez retirer la formule du périmètre du rectangle:

$ P \u003d (A + B) * 2 $, où a, b-côté de la figure.

Figure. 2. Rectangle, avec des côtés opposés désignés.

Il y a une autre façon de trouver un périmètre. Si la tâche ne reçoit qu'un côté et la zone de la figure, vous pouvez utiliser l'autre côté dans la zone. Ensuite, la formule ressemblera à ceci:

$ P \u003d ((2s + 2a2) \\ Over (a)) $, où S est la zone du rectangle.

Figure. 3. Rectangle avec les côtés A, b.

La tâche : Calculez le périmètre du rectangle si ses parties sont de 4 cm. Et 6 cm.

Décision:

Nous utilisons la formule $ p \u003d (A + B) * 2 $

$ P \u003d (4 + 6) * 2 \u003d 20 cm $

Ainsi, le périmètre de la figure est $ p \u003d 20 cm $.

Étant donné que le périmètre est la somme de tous les côtés de la forme, la demi-version est la somme d'une seule longueur et de largeur. Pour obtenir le périmètre, il est nécessaire de multiplier une demi-période.

La zone et le périmètre sont deux concepts de base de mesurer n'importe quelle figure. Ils ne peuvent pas être confondus, même s'ils sont interconnectés. Si vous augmentez, ou réduisez la zone, alors, en conséquence, son périmètre augmentera.

Qu'est-ce que nous savons?

Nous avons appris à trouver un périmètre d'un rectangle. Et a également été familiarisé avec la formule de son calcul. Avec ce sujet, il est possible de rencontrer non seulement lorsque vous résolvez des problèmes mathématiques, mais également dans la vie réelle.

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