Головна » лікування горла » Траєкторія польоту каменя під кутом 45. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту! Час підйому і польоту тіла, кинуте під кутом до горизонту

Траєкторія польоту каменя під кутом 45. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту! Час підйому і польоту тіла, кинуте під кутом до горизонту

Якщо опором повітря можна знехтувати, то кинуте як завгодно тіло рухається з прискоренням вільного падіння.

Розглянемо спочатку рух тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю v_vec0 з висоти h над поверхнею землі (рис. 11.1).

У векторному вигляді залежність швидкості тіла від часу t виражається формулою

У проекціях на осі координат:

v x = v 0, (2)
v y = -gt. (3)

1. Поясніть, як з (2) і (3) виходять формули

x = v 0 t, (4)
y = h - gt 2/2. (5)

Ми бачимо, що тіло як би здійснює одночасно два види руху: уздовж осі x воно рухається рівномірно, а вздовж осі y - равноускоренно без початкової швидкості.

На малюнку 11.2 показано положення тіла через рівні проміжки часу. Внизу показано положення в ті ж моменти часу тіла, що рухається прямолінійно рівномірно з тією ж початковою швидкістю, а зліва - положення вільно падаючого тіла.

Ми бачимо, що кинуте горизонтально тіло знаходиться весь час на одній вертикалі з рухомим рівномірно тілом і на одній горизонталі з вільно падаючим тілом.

2. Поясніть, як з формул (4) і (5) виходять вирази для часу tпол і дальності польоту тіла l:

Підказка. Скористайтеся тим, що в момент падіння y = 0.

3. Тіло кидають горизонтально з деякої висоти. В якому випадку дальність польоту тіла буде більше: при збільшенні в 4 рази початкової швидкості або при збільшенні в стільки ж разів початкової висоти? У скільки разів більше?

траєкторій руху

На малюнку 11.2 траєкторія руху тіла, кинутого горизонтально, зображена червоною штриховий лінією. Вона нагадує гілку параболи. Перевіримо це припущення.

4. Доведіть, що для тіла, кинутого горизонтально, рівняння траєкторії руху, тобто залежність y (x), виражається формулою

Підказка. Використовуючи формулу (4), висловіть t через x і підставте знайдене вираз в формулу (5).

Формула (8) дійсно є рівняння параболи. Її вершина збігається з початковим положенням тіла, тобто має координати x = 0; y = h, а гілка параболи спрямована вниз (на це вказує негативний коефіцієнт перед x 2).

5. Залежність y (x) виражається в одиницях СІ формулою y = 45 - 0,05x 2.
а) Чому рівні початкова висота і початкова швидкість тіла?
б) Чому рівні час і дальність польоту?

6. Тіло кинуто горизонтально з висоти 20 м з початковою швидкістю 5 м / с.
а) Скільки часу триватиме політ тіла?
б) Чому дорівнює дальність польоту?
в) Чому дорівнює швидкість тіла безпосередньо перед ударом об землю?
г) Під яким кутом до горизонту буде направлена швидкість тіла безпосередньо перед ударом об землю?
д) Якою формулою в одиницях СІ виражається залежність модуля швидкості тіла від часу?

2. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

На малюнку 11.3 схематично зображено початкове положення тіла, його початкова швидкість 0 (при t = 0) і прискорення (прискорення вільного падіння).

Проекції початкової швидкості

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (10)

Для скорочення наступних записів і з'ясування їх фізичного сенсузручно до отримання остаточних формул зберігати позначення v 0x і v 0y.

Швидкість тіла в векторному вигляді в момент часу t і в цьому випадку виражається формулою

Однак тепер в проекціях на осі координат

v x = v 0x, (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Поясніть, як виходять такі рівняння:

x = v 0x t, (13)
y = v 0y t - gt 2/2. (14)

Ми бачимо, що і в цьому випадку кинуте тіло хіба що бере участь одночасно в двох видах руху: уздовж осі x воно рухається рівномірно, а вздовж осі y - равноускоренно з початковою швидкістю, як тіло, кинуте вертикально вгору.

траєкторія руху

На малюнку 11.4 схематично показано положення тіла, кинутого під кутом до горизонту, через рівні проміжки часу. Вертикальні лінії підкреслюють, що вздовж осі x тіло рухається рівномірно: сусідні лінії знаходяться на рівних відстанях один від одного.

8. Поясніть, як отримати наступне рівняння траєкторії тіла, кинутого під кутом до горизонту:

Формула (15) є рівнянням параболи, гілки якої спрямовані вниз.

Рівняння траєкторії може багато розповісти нам про рух кинутого тіла!

9. Залежність y (x) виражається в одиницях СІ формулою y = √3 * x - 1,25x 2.
а) Чому дорівнює горизонтальна проекція початкової швидкості?
б) Чому дорівнює вертикальна проекція початкової швидкості?
в) Під яким кутом до горизонту кинуто тіло?
г) Чому дорівнює початкова швидкість тіла?

Параболічну форму траєкторії тіла, кинутого під кутом до горизонту, наочно демонструє струмінь води (рис. 11.5).

Час підйому і час всього польоту

10. Використовуючи формули (12) і (14), покажіть, що час підйому тіла t під і час всього польоту t підлогу виражаються формулами

Підказка. У верхній точці траєкторії v y = 0, а в момент падіння тіла його координата y = 0.

Ми бачимо, що і в цьому випадку (так само, як для тіла, кинутого вертикально вгору) весь час польоту t підлогу в 2 рази більше часу підйому t под. І в цьому випадку при зворотному перегляді відеозйомки підйом тіла буде виглядати в точності як його спуск, а спуск - як підйом.

Висота і дальність польоту

11. Доведіть, що висота підйому h і дальність польоту l виражаються формулами

Підказка. Для виведення формули (18) скористайтеся формулами (14) і (16) або формулою (10) з § 6. Переміщення при прямолінійному рівноприскореному русі; для виведення формули (19) скористайтеся формулами (13) і (17).

Зверніть увагу: час підйому тіла tпод, весь час польоту tпол і висота підйому h залежать тільки від вертикальної проекції початкової швидкості.

12. До якої висоти піднявся після удару футбольний м'яч, якщо він впав на землю через 4 с після удару?

13. Доведіть, що

Підказка. Скористайтеся формулами (9), (10), (18), (19).

14. Поясніть, чому при одній і тій же початковій швидкості v 0 дальність польоту l буде однакова при двох кутах α 1 і α 2, пов'язаних співвідношенням α 1 + α 2 = 90º (рис. 11.6).

Підказка. Скористайтеся першим рівністю у формулі (21) і тим, що sin α = cos (90º - α).

15. Два тіла, кинуті одночасно і з однаковою по модулю початкової око одну точку. Кут між початковими швидкостями дорівнює 20º. Під якими кутами до горизонту були кинуті тіла?

Максимальні дальність і висота польоту

При одній і тій же по модулю початкової швидкості дальність польоту і висота визначаються тільки кутом α. Як вибрати цей кут, щоб дальність або висота польоту були максимальними?

16. Поясніть, чому максимальна дальність польоту досягається при α = 45º і виражається формулою

l max = v 0 2 / g. (22)

17.Докажіте, що максимальна висота польоту виражається формулою

h max = v 0 2 / (2g) (23)

18.Тело, кинуте під кутом 15º до горизонту, впало на відстані 5 м від початкової точки.
а) Чому дорівнює початкова швидкість тіла?
б) До якої висоти піднялося тіло?
в) Чому дорівнює максимальна дальність польоту при тій же по модулю початкової швидкості?
г) До якої максимальної висоти могло б піднятися це тіло при тій же по модулю початкової швидкості?

Залежність швидкості від часу

При підйомі швидкість кинутого під кутом до горизонту тіла зменшується по модулю, а при спуску - збільшується.

19.Тело кинуто під кутом 30º до горизонту з початковою швидкістю 10 м / с.
а) Як в одиницях СІ виражається залежність vy (t)?
б) Як в одиницях СІ виражається залежність v (t)?
в) Чому дорівнює мінімальна швидкість тіла під час польоту?
Підказка. Скористайтеся формулами (13) і (14), а також теоремою Піфагора.

Додаткові питання і завдання

20. Кидаючи камінчики під різними кутами, Саша виявив, що не може кинути камінчик далі ніж на 40 м. На яку максимальну висоту Саша зможе закинути камінчик?

21. Між здвоєними шинами заднього колеса вантажівки застряг камінчик. На якій відстані від вантажівки повинен їхати наступний за ним автомобіль, щоб цей камінчик, зірвавшись, не завдав йому шкоди? Обидва автомобілі їдуть зі швидкістю 90 км / ч.
Підказка. Перейдіть в систему відліку, пов'язану з будь-яким з автомобілів.

22. Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло, щоб:
а) висота польоту дорівнювала дальності?
б) висота польоту була в 3 рази більше дальності?
в) дальність польоту була в 4 рази більше висоти?

23. Тіло кинуто з початковою швидкістю 20 м / с під кутом 60º до горизонту. Через які проміжки часу після кидка швидкість тіла буде спрямована під кутом 45º до горизонту?

Якщо тіло кинути під кутом до горизонту, то в польоті на нього діють сила тяжіння і сила опору повітря. Якщо силою опору знехтувати, то залишається єдина сила - сила тяжіння. Тому внаслідок 2-го закону Ньютона тіло рухається з прискоренням, рівним прискоренню вільного падіння; проекції прискорення на координатні осі ах = 0, ау = - g.

Малюнок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту

Будь-яке складне рух матеріальної точки можна уявити як накладення незалежних рухів уздовж координатних осей, причому в напрямку різних осей вид руху може відрізнятися. У нашому випадку рух тіла, що летить можна уявити як накладення двох незалежних рухів: рівномірного руху вздовж горизонтальної осі (осі Х) і рівноприскореного руху уздовж вертикальної осі (осі Y) (рис. 1).

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються з часом у такий спосіб:

де $ v_0 $ - початкова швидкість, $ (\ mathbf \ alpha) $ - кут кидання.

При нашому виборі початку координат початкові координати (рис. 1) $ x_0 = y_0 = 0 $. Тоді отримаємо:

(1)

Проаналізуємо формули (1). Визначимо час руху кинутого тіла. Для цього покладемо координату y рівною нулю, тому що в момент приземлення висота тіла дорівнює нулю. Звідси отримуємо для часу польоту:

Друге значення часу, при якому висота дорівнює нулю, дорівнює нулю, що відповідає моменту кидання, тобто це значення також має фізичний сенс.

Дальність польоту отримаємо з першої формули (1). Дальність польоту - це значення координати х в кінці польоту, тобто в момент часу, рівний $ t_0 $. Підставляючи значення (2) в першу формулу (1), отримуємо:

З цієї формули видно, що найбільша дальність польоту досягається при значенні кута кидання, рівному 45 градусів.

Найбільшу висоту підйому кинутого тіла можна отримати з другої формули (1). Для цього потрібно підставити в цю формулу значення часу, що дорівнює половині часу польоту (2), тому що саме в середній точці траєкторії висота польоту максимальна. Проводячи обчислення, отримуємо

З рівнянь (1) можна отримати рівняння траєкторії тіла, тобто рівняння, що зв'язує координати х і у тіла під час руху. Для цього потрібно з першого рівняння (1) висловити час:

і підставити його в друге рівняння. Тоді отримаємо:

Це рівняння є рівнянням траєкторії руху. Видно, що це рівняння параболи, розташованої гілками вниз, про що говорить знак «-» перед квадратичним складовою. Слід мати на увазі, що кут кидання $ \ alpha $ і його функції - тут просто константи, тобто постійні числа.

Тіло кинуто зі швидкістю v0 під кутом $ (\ mathbf \ alpha) $ до горизонту. Час польоту $ t = 2 з $. На яку висоту Hmax підніметься тіло?

$$ t_В = 2 з $$ $$ H_max -? $$

Закон руху тіла має вигляд:

$$ \ left \ (\ begin (array) (c) x = v_ (0x) t \\ y = v_ (0y) t- \ frac (gt ^ 2) (2) \ end (array) \ right. $ $

Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $ (\ mathbf \ alpha) $. отже,

\ \ \

З вершини гори кидають під кутом = 30 $ () ^ \ circ $ до горизонту камінь з початковою швидкістю $ v_0 = 6 м / с $. Кут похилій площині = 30 $ () ^ \ circ $. На якій відстані від точки кидання впаде камінь?

$$ \ alpha = 30 () ^ \ circ $$ $$ v_0 = 6 \ м / с $$ $$ S -? $$

Помістимо початок координат в точку кидання, ОХ - уздовж похилій площині вниз, OY - перпендикулярно похилій площині вгору. Кінематичні характеристики руху:

Закон руху:

$$ \ left \ (\ begin (array) (c) x = v_0t (cos 2 \ alpha + g \ frac (t ^ 2) (2) (sin \ alpha \) \) \\ y = v_0t (sin 2 \ alpha \) - \ frac (gt ^ 2) (2) (cos \ alpha \) \ end (array) \ right. $$ \

Підставивши отримане значення $ t_В $, знайдемо $ S $:

Малюнок 1. Кінематичні характеристики тіла, кинутого під кутом до горизонту

Проекції швидкості тіла, отже, змінюються з часом у такий спосіб:

де $ v_0 $ - початкова швидкість, $ (\ mathbf \ alpha) $ - кут кидання.

При нашому виборі початку координат початкові координати (рис. 1) $ x_0 = y_0 = 0 $. Тоді отримаємо:

(1)

і підставити його в друге рівняння. Тоді отримаємо:

$$ t_В = 2 з $$ $$ H_max -? $$

Закон руху тіла має вигляд:

$$ \ left \ (\ begin (array) (c) x = v_ (0x) t \\ y = v_ (0y) t- \ frac (gt ^ 2) (2) \ end (array) \ right. $ $

Вектор початкової швидкості утворює з віссю ОХ кут $ (\ mathbf \ alpha) $. отже,

\ \ \

$$ \ alpha = 30 () ^ \ circ $$ $$ v_0 = 6 \ м / с $$ $$ S -? $$

Закон руху:

$$ \ left \ (\ begin (array) (c) x = v_0t (cos 2 \ alpha + g \ frac (t ^ 2) (2) (sin \ alpha \) \) \\ y = v_0t (sin 2 \ alpha \) - \ frac (gt ^ 2) (2) (cos \ alpha \) \ end (array) \ right. $$ \

Підставивши отримане значення $ t_В $, знайдемо $ S $:

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту

Розглянемо рух тіла, кинутого зі швидкістю V 0, вектор якої спрямований під кутом α до горизонту, в площині XOY, розташувавши тіло в момент кидання в початок координат, як це зображено на малюнку 1.

У відсутності сил опору, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, можна розглядати як окремий випадок криволінійного руху під дією сили тяжіння. Застосовуючи 2 - ий закон Ньютона


Σ F i

отримуємо
mg = ma,


	a = g
Проекції вектора прискорення a на осі ОХ і ОУ рівні:


		= -g
де g = const - це	прискорення вільного падіння,			якого завжди
спрямований вертикально вниз,	чисельне значення g = 9,8 м / с2;		= -g		тому вісь ОУ на

малюнку 1 спрямована вгору,в разі, коли вісь OY спрямована вниз, то проекція вектора

2 a на вісь ОУ буде позитивна(Читаючи умови завдань, вибирайте самі напрямок осей, якщо це не прописано в умови).

Значення проекцій вектора прискорення a на осі ОХ і ОУ дають підставу зробити

наступний висновок:

∙ тіло, кинуте під кутом до горизонту, одночасно бере участь у двох рухах - рівномірному по горизонталі і равнопеременное по


вертикалі.
Швидкість тіла в такому випадку

	V = Vx + Vy

Швидкість тіла в початковий момент часу (в момент кидання тіла)
V 0 = V 0 x			V 0 y.
Проекції вектора початкової швидкості на осі ОХ і ОУ рівні
		V cosα

V 0 y		V 0 sin α

Для равнопеременное руху залежності швидкості і переміщення від часу задаються рівняннями:

V 0 + at

S 0 + V 0 t +

і S 0 - це швидкість і переміщення тіла в початковий момент часу,

і S t - це швидкість і переміщення тіла в момент часу t.

Проекції векторного рівняння (8) на осі ОХ і ОУ рівні

V 0 x

Ax t,

V ty = V 0 y + a y t

Const

V 0 y - gt

Проекції векторного рівняння (9) на осі ОХ і ОУ рівні

S ox + V ox t +

a y t 2

S 0 y

V oy t +

з урахуванням рівності (4), отримуємо

S 0 y

V oy t -

gt 2

де Sox і Soy -

координати тіла

в початковий момент часу,

а Stx і Sty -

координати тіла в момент часу t.

За час свого руху t (від моменту кидання до моменту падіння на той же

рівень) тіло піднімається на максимальну висоту hmax, спускається з неї і відлітає від місця кидання на відстань L (дальність польоту) - див. малюнок 1.

1) Час руху тіла tможна знайти, враховуючи значення координат тіла Sy в

Soy = 0, Sty = 0,

підставивши значення Voy і (14) в друге рівняння системи (13), отримуємо

2) Дальність польоту Lможна знайти, враховуючи значення координат тіла Sх в

початковий момент часу і в момент часу t (див. рис.1)

SOХ = 0, Stх = L,

підставивши значення Vox і (17) в перше рівняння системи (13), отримуємо

		L = V 0 cosα × t,
звідки, з урахуванням (16), отримуємо
L = V cosα ×	2V sin α
L = V cosα ×

3) Максимальну висоту підйому тіла h max можна знайти, враховуючи значення

швидкості тіла V в точці максимального підйому тіла

V 0 x

Оскільки в цій точці V y

Використовуючи другі рівняння систем (11) і (13),

значення Voу, а також той факт,

що в точці максимального підйому тіла Sy = hmax, отримуємо

0 = V 0 sin α - g × t під

gt под2

V 0 sin α × t -

h max

де tпод - час підйому - час руху на висоту максимального підйому тіла.

Вирішуючи цю систему, отримуємо

t під =

V 0 sin α

sin 2 α

Порівняння значень (16) і (22), дає підставу зробити висновок

· час руху на висоту максимального підйому тіла (tпід) дорівнює часу спуску тіла (tсп) з цієї висоти і дорівнює половині часу всього руху тіла від моменту кидання до моменту падіння на той же рівень

t під	T сп

Вивчати рух тіла, кинутого зі швидкістю V 0, вектор якої спрямований під кутом α до горизонту, в площині XOY, дуже наочно на комп'ютерній моделі

"Вільне падіння тіл" у збірнику комп'ютерних моделей "Відкрита фізика"

компанії ФІЗІКОН. У цій моделі можна задавати різні початкові умови.

Наприклад, розглянутий нами випадок потрібно задавати (команда "Очистити") при початковій умові h = 0 і обраних V0 і α. Команда "Старт" продемонструє рух тіла і дасть картинку траєкторії руху і напрямок векторів швидкості тіла в фіксовані моменти часу.

Рис.2. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло рухається з точки початку координат і падає на тому ж рівні.

Якщо умову задачі відрізняється від розглянутого нами випадку, то необхідно

для вирішення завдання, вибравши напрямок осей, розмістити тіло в початковий момент

часу, зобразити траєкторію руху тіла до точки падіння, таким чином

визначивши координати тіла в початковий і кінцевий моменти часу. потім

використовувати рівняння (3), (5), (8) і (9) як основу для вирішення і розглянутий вище

алгоритм вирішення задачі.

Розглянемо окремі випадки.

6 1. Тіло кинули із швидкістю V 0 , Вектор якої спрямований під кутомα до

горизонту, з висоти h і воно впало на відстані L від місця кидання. y в початковий

Soy = h,

а значення інших координат будуть обрані так само, як ми вибирали.

Рис.3. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло рухається з точки h = 50м і падає на нульовий рівень.

2. Тіло кинули горизонтально зі швидкістю V 0, з висоти h і воно впало на відстані L від місця кидання. Відмінність від розглянутого нами випадку полягає в тому, значення координат тіла S y в початковий момент визначиться так само рівнянням (25),

а значення інших координат будуть обрані так само, як ми вибирали. Але в цьому випадку початкова швидкість тіла в проекції на вісь ОУ дорівнює нулю (так як α = 0), тобто

проекції вектора початкової швидкості на осі ОХ і ОУ рівні



V 0 y

Рис.4. Діалогове вікно комп'ютерної моделі "Вільне падіння тіл" у розділі

"Механіка"; тіло, кинуте горизонтально, рухається з точки h = 50м і падає на нульовий рівень.

Тіло, кинуте під кутом до горизонту, будемо розглядати як матеріальну точку, що здійснює вільний політ в поле тяжіння Землі, без урахування опору повітря. Вектор прискорення в такому русі є постійною величиною:

\ [\ Overline (a) = \ overline (g) \ left (1 \ right). \]

Швидкість руху такого тіла можна виразити формулою:

\ [\ Overline (v) \ left (t \ right) = (\ overline (v)) _ 0 + \ overline (g) t \ \ left (2 \ right), \]

де $ (\ overline (v)) _ 0 $ - швидкість тіла в момент кидка. Формулу (2) можна розглядати як результат складання швидкостей двох незалежних рухів за прямими лініями, в яких бере участь тіло, кинуте під кутом до горизонту. Це рівномірне переміщення з постійною швидкістю $ (\ overline (v)) _ 0 $ у напрямку горизонту і рівноприскореного руху з прискоренням $ \ overline (g) $ без початкової швидкості в напрямку вектора прискорення вільного падіння.

Відповідно до принципу незалежності переміщень при одночасній участі тіла в цих двох рухах переміщення нашої матеріальної точки ($ \ Delta \ overline (r) $) дорівнює сумі векторів: $ (\ overline (v)) _ 0t $ і $ \ frac (\ overline (g ) t ^ 2) (2) $. Якщо ми помістимо початок відліку в точку знаходження тіла в момент початку спостереження ($ = 0 $), то вектор переміщення за проміжок часу від 0 до $ t $ збігатиметься з радіус-вектором $ \ overline (r) (t) $:

\ [\ Overline (r) \ left (t \ right) = (\ overline (v)) _ 0t + \ frac (\ overline (g) t ^ 2) (2) \ left (3 \ right), \]

де $ \ overline (g) $ спрямований вертикально вниз і дорівнює за величиною приблизно 9,8 $ \ frac (м) (з ^ 2). $

Траєкторія руху тіла, кинуте під кутом до горизонту

Не дивлячись на те, що кожне окреме рух тіла відбувається по прямій, результуючої траєкторією є парабола, що лежить в площині в якій знаходяться вектори $ (\ overline (v)) _ 0 $ і $ \ overline (g) $.

Припустимо, що тіло при $ t = 0 \ c $ було на висоті $ h $, його кинули зі швидкістю $ (\ overline (v)) _ 0 $, спрямованої під кутом $ \ alpha $ до горизонту (рис.1).

Початкові умови при розглянутому русі точки такі:

\ [При \ t = 0 \ c \ left \ (\ begin (array) (c) x_0 = 0, \\ y_0 = h, \\ v_ (0x) = v_0 (\ cos \ alpha, \) \\ v_ (0y) = v_0 (\ sin \ alpha. \) \ end (array) \ right. (4) \]

Крім цього ми знаємо, що для розглянутого руху: $ a_x = 0 ;; \ a_y = -g. $ Вирази для проекції швидкості (2) на осі приймають вид:

\ [\ Left \ (\ begin (array) (c) v_x = v_0 (\ cos \ alpha, \) \\ v_y = v_0 (\ sin \ alpha -gt \) \ end (array) \ left (5 \ right ). \ right. \]

Рівняння переміщення при равнопеременное русі ($ \ overline (a) = \ overline (g) $):

\ [\ Overline (s) \ left (t \ right) = (\ overline (s)) _ 0 + (\ overline (v)) _ 0t + \ frac (\ overline (g) t ^ 2) (2), \]

де $ (\ overline (s)) _ 0 $ - зміщення тіла в початковий момент часу. У нашому випадку $ s_0 = h $. Рівняння координат точки, кинутої під кутом до горизонту з рівняння для переміщення:

\ [\ Left \ (\ begin (array) (c) x = v_0 (\ cos \ left (\ alpha \ right) \ cdot t, \) \\ y = (h + v) _0 (\ sin \ left ( \ alpha \ right) \ cdot t- \ frac (gt ^ 2) (2) \) \ end (array) \ left (6 \ right). \ right. \]

З систем рівнянь (5) і (6) траєкторія руху матеріальної точки виходить, задана рівнянням:

За формою рівняння (7) видно, що траєкторією руху є парабола.

Час підйому і польоту тіла, кинуте під кутом до горизонту

Час підйому тіла, кинуте під кутом до горизонту, при розглянутому русі легко визначити з системи рівнянь (5). У точці максимального підйому вектор швидкості точки паралельний осі X, значить $ v_y = 0 $, час підйому ($ t_p $) дорівнює:

Час, яке тіло перебувало в повітрі (час польоту ($ t_ (pol) $)) визначають з другого рівняння системи (6), прирівнюючи координату $ y $ до нуля, отримують:

Дальність польоту і висота підйому

Для того щоб знайти горизонтальну дальність польоту тіла, кинуте під кутом до горизонту, ($ s $) при заданих нами умовах в рівняння координати $ x $ системи рівнянь (6) слід підставити час польоту ($ t_ (pol) $) (9) . При $ h = 0, $ дальність польоту дорівнює:

З виразу (10) випливає, що при даній швидкості кидання дальність польоту максимальна при $ \ alpha = \ frac (\ pi) (4) $.

Максимальну висоту підйому тіла ($ h_ (max) $) знаходять з другого рівняння системи (6), підставляючи в нього час підйому ($ t_p $) (8):

Вираз (11) показує, що максимальна висота підйому тіла прямо пропорційна квадрату швидкості кидання і збільшується при зростанні кута кидання.

Приклади завдань з рішенням

приклад 1

завдання:Чому дорівнює час польоту тіла, яке кинули паралельно Землі з висоти $ h_0 $? Початкова швидкість тіла дорівнює $ (\ overline (v)) _ 0 $.

Рішення:Зробимо малюнок.

Основою для вирішення завдання є рівняння:

\ [\ Overline (r) \ left (t \ right) = (\ overline (h)) _ 0 + (\ overline (v)) _ 0t + \ frac (\ overline (g) t ^ 2) (2) \ left (1.1 \ right). \]

Проектуючи його на осі X і Y отримуємо:

\ [\ Left \ (\ begin (array) (c) x = v_0t, \\ y = h_0- \ frac (gt ^ 2) (2) \ end (array) \ right. \ Left (1.2 \ right). \]

При падінні тіла на Землю при нашому виборі системи відліку отримуємо, що $ y = 0 $, знаючи це висловимо шукане час:

відповідь:$ T_ (pol) = \ sqrt (\ frac (2h_0) (g)) $

приклад 2

завдання:Який є траєкторія руху тіла падає з висоти $ h_0 $ в умовах першого прикладу?

Рішення:У першому прикладі проектуючи рівняння $ \ overline (r) \ left (t \ right) $ на осі координат, ми отримали, що:

\ [\ Left \ (\ begin (array) (c) x = v_0t, \\ y = h_0- \ frac (gt ^ 2) (2) \ end (array) \ right .. \]

Висловимо з першого рівняння час

підставимо його в друге рівняння:

Ми отримали рівняння параболи. Траєкторією руху падаючого тіла в наших умовах буде гілка параболи. Вершина цієї гілки параболи буде знаходитися в точці кидання.

відповідь:$ Y = h_0- \ frac (g) (2v ^ 2_0) x ^ 2, $ гілка параболи (рис.3).