Cet article est consacré à l'analyse de concepts tels qu'un rayon de coordonnées et une ligne de coordonnées. Nous nous attarderons sur chaque concept et examinerons de plus près des exemples. Grâce à cet article, vous pouvez parfaire vos connaissances ou vous familiariser avec le sujet sans l'aide d'un professeur.

Pour définir le concept faisceau de coordonnées, vous devriez avoir une idée de ce qu'est un rayon.

Définition 1

Rayon est une figure géométrique qui a l'origine du rayon de coordonnées et la direction du mouvement. Une ligne droite est généralement tracée horizontalement, pointant vers la droite.

Dans l'exemple, nous voyons que O est le début du rayon.

Exemple 1

Le rayon de référence est dessiné de la même manière, mais diffère de manière significative. Nous définissons un point de départ et mesurons un segment unitaire.

Exemple 2

Définition 2

Segment unitaire est la distance de 0 au point sélectionné pour la mesure.

Exemple 3

À partir de la fin d'un seul segment de ligne, vous devez reporter quelques traits et effectuer un balisage.

Grâce aux manipulations que nous avons faites avec le faisceau, il est devenu coordonné. Signez les traits avec des nombres naturels dans la séquence de 1 - par exemple, 2, 3, 4, 5 ...

Exemple 4

Définition 3

Est une échelle qui peut durer indéfiniment.

Souvent, il est représenté par un rayon commençant au point O et un seul segment unitaire est disposé. Un exemple est montré dans la figure.

Exemple 5

Dans tous les cas, nous pouvons continuer l'échelle jusqu'au nombre dont nous avons besoin. Vous pouvez écrire des nombres aussi facilement - sous la poutre ou au-dessus.

Exemple 6

Pour les affichages de coordonnées de rayon, les lettres majuscules et minuscules peuvent être utilisées.

Le principe de l'image de la ligne de coordonnées ne diffère pratiquement pas de l'image du faisceau. C'est simple - dessinez un rayon et complétez-le en une ligne droite, en donnant une direction positive, indiquée par une flèche.

Exemple 7

Passer le faisceau dans la direction opposée, en le complétant par une ligne droite

Exemple 8

Mettez de côté les lignes unitaires en suivant l'exemple ci-dessus

Sur le côté gauche, écrivez les nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5 ... avec le signe opposé. Jetez un œil à l'exemple.

Exemple 9

Vous ne pouvez marquer que les lignes d'origine et d'unité. Voir un exemple pour voir à quoi il ressemblera.

Exemple 10

Définition 4

- c'est une droite, qui est représentée avec un certain point de référence, qui est pris comme 0, un segment unitaire et une direction de mouvement donnée.

Correspondance entre les points de la ligne de coordonnées et les nombres réels

La ligne de coordonnées peut contenir plusieurs points. Ils sont directement liés aux nombres réels. Cela peut être défini comme une correspondance un à un.

Définition 5

Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées.

Afin de mieux comprendre la règle, il faut marquer un point sur la ligne de coordonnées et voir quel nombre naturel correspond à la marque. Si ce point coïncide avec l'origine, il sera marqué d'un zéro. Si le point ne coïncide pas avec l'origine, nous reportons le nombre requis de segments unitaires jusqu'à ce que nous atteignions la marque spécifiée. Le numéro inscrit en dessous correspondra à ce point. Dans l'exemple ci-dessous, nous allons vous montrer clairement cette règle.

Exemple 11

Si nous ne pouvons pas trouver un point en éliminant des segments unitaires, nous devons également marquer des points qui constituent un dixième, un centième ou un millième d'un segment unitaire. À l'aide d'un exemple, vous pouvez examiner cette règle en détail.

En mettant de côté plusieurs de ces segments, nous pouvons obtenir non seulement un nombre entier, mais également un nombre fractionnaire - à la fois positif et négatif.

Les segments de ligne marqués nous aideront à trouver le point nécessaire sur la ligne de coordonnées. Il peut s'agir à la fois de nombres entiers et fractionnaires. Cependant, il y a des points sur la ligne qui sont très difficiles à trouver en utilisant des segments de ligne simples. Ces points correspondent à des fractions décimales. Pour rechercher un tel point, vous devrez reporter un seul segment, le dixième, le centième, le millième, le dix-millième et d'autres parties de celui-ci. Un point de la ligne de coordonnées correspond à un nombre irrationnel (= 3, 141592....).

L'ensemble des nombres réels comprend tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction. Cela vous permet d'identifier la règle.

Définition 6

Chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel spécifique. Différents points définissent différents nombres réels.

Cette correspondance est sans ambiguïté - chaque point correspond à un certain nombre réel. Mais ça marche aussi dans l'autre sens. Nous pouvons également indiquer un point spécifique sur la ligne de coordonnées, qui fera référence à un nombre réel spécifique. Si le nombre n'est pas un nombre entier, nous devons alors marquer plusieurs segments unitaires, ainsi que des dixièmes, des centièmes dans une direction donnée. Par exemple, le nombre 400350 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, qui peut être atteint depuis l'origine en reportant 400 segments unitaires dans le sens positif, 3 segments qui constituent un dixième d'unité et 5 segments - un millième.

Ainsi le segment unitaire et son dixième, centième, etc., les parts permettent d'accéder aux points de la ligne de coordonnées, qui correspondront aux fractions décimales finales (comme dans l'exemple précédent). Cependant, il y a des points sur la ligne de coordonnées auxquels nous ne pouvons pas accéder, mais dont nous pouvons nous rapprocher autant que nous le souhaitons, en utilisant tout ce qui est de plus en plus petit jusqu'à une fraction infiniment petite d'un segment unitaire. Ces points correspondent à des fractions décimales périodiques et non périodiques infinies. Voici quelques exemples. L'un de ces points sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 3.711711711… = 3, (711). Pour approcher ce point, il faut reporter 3 segments unitaires, 7 dixièmes, 1 centième, 1 millième, 7 dix millièmes, 1 cent millième, 1 millionième de segment unitaire, etc. Et un point de plus de la ligne de coordonnées correspond à pi (π = 3,141592 ...).

Puisque les éléments de l'ensemble des nombres réels sont tous des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions décimales finies et infinies, toutes les informations présentées dans ce paragraphe nous permettent d'affirmer que nous avons attribué un nombre réel spécifique à chaque point du ligne de coordonnées, alors qu'il est clair que différents points correspondent à différents nombres réels.

Il est également assez évident que cette correspondance est un à un. C'est-à-dire que nous pouvons mettre un nombre réel en correspondance avec un point spécifié sur la ligne de coordonnées, mais nous pouvons également, pour un nombre réel donné, indiquer un point spécifique sur la ligne de coordonnées auquel ce nombre réel correspond. Pour ce faire, il faudra reporter de l'origine dans la direction souhaitée un certain nombre de segments unitaires, ainsi que des dixièmes, centièmes, etc., des fractions de segment unitaire. Par exemple, le nombre 703.405 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, qui peut être atteint depuis l'origine en reportant dans le sens positif 703 segments unitaires, 4 segments qui composent un dixième d'unité, et 5 segments qui composent un millième d'unité.

Ainsi, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel, et chaque nombre réel a sa place sous la forme d'un point sur la ligne de coordonnées. C'est pourquoi la ligne de coordonnées est très souvent appelée ligne numérique.

Coordonnées des points sur une ligne de coordonnées

Le nombre correspondant à un point sur la ligne de coordonnées est appelé la coordonnée de ce point.

Dans le paragraphe précédent, nous avons dit que chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées, par conséquent, la coordonnée d'un point détermine de manière unique la position de ce point sur la ligne de coordonnées. En d'autres termes, la coordonnée d'un point définit de manière unique ce point sur la ligne de coordonnées. D'autre part, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel - la coordonnée de ce point.

Il ne reste plus qu'à dire les appellations adoptées. La coordonnée du point est écrite entre parenthèses à droite de la lettre qui désigne le point. Par exemple, si le point M a une coordonnée de -6, alors vous pouvez écrire M (-6) et l'enregistrement du formulaire signifie que le point M sur la ligne de coordonnées a une coordonnée.

Bibliographie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques : manuel pour la 5e année. les établissements d'enseignement.
• Vilenkin N. Ya. et autres mathématiques. 6e année : manuel pour les établissements d'enseignement.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année les établissements d'enseignement.

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec le concept de ligne de coordonnées, nous afficherons ses principales caractéristiques et propriétés. Nous allons formuler et apprendre à résoudre les principaux problèmes. Résolvons quelques exemples sur la combinaison de ces tâches.

D'après le cours de géométrie, nous savons ce qu'est une droite, mais que faut-il faire d'une droite ordinaire pour en faire une droite coordonnée ?

1) Choisissez un point de départ ;

2) Choisissez une direction;

3) Choisissez une échelle ;

La figure 1 montre une ligne droite ordinaire et la figure 2 - une ligne de coordonnées.

La ligne de coordonnées est une ligne droite l sur laquelle le point de départ O est choisi - l'origine, l'échelle est un segment unitaire, c'est-à-dire un tel segment dont la longueur est considérée comme égale à un et une direction positive.

La ligne de coordonnées est également appelée axe de coordonnées ou axe X.

Voyons pourquoi la ligne de coordonnées est nécessaire, pour cela nous définissons sa propriété principale. La ligne de coordonnées établit une correspondance un à un entre l'ensemble de tous les nombres et l'ensemble de tous les points sur cette ligne. Voici quelques exemples:

Deux nombres sont donnés : (signe "+", le module vaut trois) et (signe "-", le module vaut trois). Représentons ces nombres sur la ligne de coordonnées :

Ici, le nombre est appelé coordonnée A, le nombre est appelé coordonnée B.

Ils disent aussi que l'image d'un nombre est un point C avec une coordonnée, et l'image d'un nombre est un point D avec une coordonnée :

Ainsi, puisque la propriété principale de la ligne de coordonnées est l'établissement d'une correspondance un à un entre des points et des nombres, deux tâches principales se posent : indiquer un point à un nombre donné, nous l'avons déjà fait plus haut, et indiquer un nombre à un moment donné. Prenons un exemple de la deuxième tâche :

Soit un point M :

Pour déterminer le nombre à un point donné, vous devez d'abord déterminer la distance de l'origine au point. Dans ce cas, la distance est de deux. Vous devez maintenant déterminer le signe du nombre, c'est-à-dire dans quel rayon de la ligne droite se trouve le point M. Dans ce cas, le point se trouve à droite de l'origine, dans le rayon positif, donc le nombre aura un signe "+".

Prenez un autre point et déterminez le nombre à partir de celui-ci :

La distance de l'origine au point, comme dans l'exemple précédent, est égale à deux, mais dans ce cas le point se situe à gauche de l'origine, sur le rayon négatif, ce qui signifie que le point N caractérise le nombre

Tous les problèmes typiques associés à la ligne de coordonnées sont d'une manière ou d'une autre liés à sa propriété principale et à deux problèmes principaux que nous avons formulés et résolus.

Les tâches typiques incluent :

-être capable de placer des points et leurs coordonnées;

-comprendre la comparaison des nombres:

l'expression signifie que le point C de coordonnée 4 se trouve à droite du point M de coordonnée 2 :

Et vice versa, si l'on nous donne l'emplacement des points sur la ligne de coordonnées, nous devons comprendre que leurs coordonnées sont liées par un certain rapport :

Soit les points M (x M) et N (x N) :

Nous voyons que le point M se trouve à droite du point n, ce qui signifie que leurs coordonnées sont liées comme

-Détermination de la distance entre les points.

Nous savons que la distance entre les points X et A est égale à la valeur absolue du nombre. soit deux points :

Alors la distance entre eux sera égale à :

Une autre tâche très importante est description géométrique ensembles de nombres.

Considérons un rayon qui se trouve sur l'axe des coordonnées, n'inclut pas son origine, mais inclut tous les autres points :

Nous avons donc un ensemble de points situés sur l'axe des coordonnées. Décrivons l'ensemble de nombres caractérisé par un ensemble donné de points. Il y a d'innombrables nombres et points, donc cette entrée ressemble à ceci :

Faisons une explication : dans la deuxième variante de notation, si vous mettez une parenthèse "(" alors le nombre extrême - dans ce cas le nombre 3, n'est pas inclus dans l'ensemble, mais si vous mettez un crochet "[", alors le nombre extrême est inclus dans l'ensemble.

Ainsi, nous avons écrit un ensemble analytiquement numérique qui caractérise un ensemble donné de points. la notation analytique, comme nous l'avons dit, s'effectue soit sous forme d'inégalité, soit sous forme d'écart.

Beaucoup de points sont donnés :

Dans ce cas, le point a = 3 est inclus dans l'ensemble. Décrivons analytiquement l'ensemble des nombres :

A noter qu'après ou avant le signe de l'infini, ils mettent toujours une parenthèse, puisqu'on n'atteindra jamais l'infini, et autour du nombre il peut y avoir soit une parenthèse, soit un carré, selon les conditions du problème posé.

Prenons un exemple de problème inverse.

Une ligne de coordonnées est donnée. Dessinez dessus un ensemble de points correspondant à un ensemble numérique et :

La ligne de coordonnées établit une correspondance un à un entre n'importe quel point et un nombre, et donc entre des ensembles numériques et des ensembles de points. Nous avons considéré des faisceaux dirigés dans les deux directions positives et négatives, y compris leur sommet et ne l'incluant pas. Regardons maintenant les segments de ligne.

Exemple 10 :

Beaucoup de chiffres sont donnés. Dessiner le jeu de points correspondant

Exemple 11 :

Beaucoup de chiffres sont donnés. Afficher plusieurs points :

Parfois, pour montrer que les extrémités d'un segment ne sont pas incluses dans l'ensemble, des flèches sont dessinées :

Exemple 12 :

Un ensemble de nombres est donné. Construire son modèle géométrique :

Trouvez le plus petit nombre dans la plage :

Trouver plus grand nombre de l'intervalle, s'il existe :

Nous pouvons soustraire un nombre arbitrairement petit de huit et dire que le résultat sera le plus grand nombre, mais nous trouverons immédiatement un nombre encore plus petit et le résultat de la soustraction augmentera, il est donc impossible de trouver le plus grand nombre dans ce intervalle.

Faisons attention au fait qu'il est impossible de trouver le nombre le plus proche de n'importe quel nombre sur la ligne de coordonnées, car il y aura toujours un nombre encore plus proche.

Combien y a-t-il d'entiers naturels dans un intervalle donné ?

Sélectionnons les nombres naturels suivants dans l'intervalle : 4, 5, 6, 7 - quatre nombres naturels.

Rappelons que les nombres naturels sont des nombres utilisés pour compter.

Prenons un autre ensemble.

Exemple 13 :

Un ensemble de nombres est donné

Construire son modèle géométrique :

Sujet de la leçon :

« Coordonnées de la ligne»

Le but de la leçon :

présenter aux élèves la ligne de coordonnées et les nombres négatifs.

Objectifs de la leçon:

Programme : présentez aux élèves la ligne de coordonnées et les nombres négatifs.

Développer : développer la pensée logique, élargir ses horizons.

Pédagogique : développement de l'intérêt cognitif, éducation à la culture de l'information.

Plan de cours:

Moment d'organisation. Vérifier les élèves et leur préparation pour la leçon.

Mise à jour des connaissances de base. Questionnement oral des étudiants sur le sujet traité.

Explication du nouveau matériel.

4. Consolidation du matériel étudié.

5. En résumé. Un résumé de ce qui a été appris dans la leçon. Questions des étudiants.

6. Conclusion. Résumez les points principaux de la leçon. Évaluation des connaissances. Marquage.

7. Devoirs. Travail indépendantélèves avec la matière étudiée.

Matériel : craie, planche, toboggans.

Plan d'ensemble élargi

Nom de scène et contenu

Activités

Activités

élèves

Étape I

Moment d'organisation. Salutation.

Remplir le journal.

salue la classe, le chef de classe donne une liste des absents.

saluer

prof

Étape II

Mise à jour des connaissances de base.

L'ancien scientifique grec Pythagore a dit : « Les nombres gouvernent le monde. Nous vivons dans ce monde de nombres, et pendant les années scolaires, nous apprenons à travailler avec nombres différents.

1 Quels nombres connaissons-nous déjà grâce à la leçon d'aujourd'hui ?

2 Quels problèmes ces chiffres nous aident-ils à résoudre ?

Aujourd'hui, nous passons à l'étude du deuxième chapitre de notre manuel "Nombres rationnels", où nous élargirons notre connaissance des nombres, et après avoir étudié l'intégralité du chapitre "Nombres rationnels", nous apprendrons à effectuer toutes les actions que vous connaissez avec eux et commencez par le sujet de la ligne de coordonnées.

1.fractions naturelles, fractions, décimales

2.addition, soustraction, multiplication, division, trouver une fraction d'un nombre et un nombre par sa fraction, résoudre diverses équations et problèmes

Stade III

Explication du nouveau matériel.

Prenez une droite AB et divisez-la par un point O en deux rayons supplémentaires - OA et OB. Choisissons un segment unitaire sur une droite et prenons le point O comme origine et direction.

Définitions :

Une ligne droite avec un point de référence sélectionné dessus, un segment unitaire et une direction est appelée ligne de coordonnées.

Le nombre indiquant la position d'un point sur une ligne droite est appelé la coordonnée de ce point.

Comment tracer une ligne de coordonnées ?

prendre une ligne droite

définir la ligne d'unité

indiquer la direction

La ligne de coordonnées peut être représentée de différentes manières : horizontalement, verticalement et à tout autre angle par rapport à l'horizon, et a un début mais pas de fin.

Exercice 1. Lesquelles des lignes suivantes ne sont pas coordonnées ? (Diapositive)

Dessinons une ligne de coordonnées, marquons l'origine, un segment unitaire et plaçons les points 1,2,3,4 à gauche et à droite, et ainsi de suite.

Regardons la ligne de coordonnées résultante. Pourquoi une telle ligne droite est-elle gênante ?

La direction à droite de l'origine est dite positive et la direction sur la droite est indiquée par une flèche. Les nombres situés à droite du point O sont dits positifs. Les nombres négatifs sont placés à gauche du point O, et la direction à gauche du point O est dite négative (la direction négative n'est pas indiquée). Si la ligne de coordonnées est située verticalement, alors au-dessus de l'origine - nombres positifs, en dessous de l'origine - négatif. Les nombres négatifs sont écrits avec un signe "-". Ils lisent : « Moins un », « Moins deux », « Moins trois », etc. Numéro 0 - l'origine n'est ni positive ni négative. Il sépare les nombres positifs des nombres négatifs.

La résolution d'équations et le concept de « dette » dans les calculs commerciaux ont conduit à des nombres négatifs.

Les nombres négatifs sont apparus bien plus tard que les nombres naturels et les fractions ordinaires. Les premières informations sur les nombres négatifs se trouvent chez les mathématiciens chinois du IIe siècle. avant JC e. Les nombres positifs ont ensuite été interprétés comme une propriété et les nombres négatifs comme une dette, une pénurie. En Europe, la reconnaissance est venue mille ans plus tard, et même alors pendant longtemps les nombres négatifs étaient appelés « faux », « imaginaires » ou « absurdes ». Au 17ème siècle, les nombres négatifs ont reçu une représentation géométrique visuelle sur l'axe des nombres

Vous pouvez également donner des exemples de ligne de coordonnées : thermomètre, comparaison des sommets et des creux des montagnes (le niveau de la mer est pris égal à zéro), distance sur la carte, cage d'ascenseur, maisons, grues.

Pense connaissez-vous d'autres exemples de la ligne de coordonnées?

Tâches.

Tâche 2. Nommez les coordonnées des points.

Mission 3. Tracer des points sur la ligne de coordonnées

Devoir4 ... Tracez une ligne horizontale et marquez dessus le point O. Marquez les points A, B, C, K sur cette ligne, si vous savez que :

A représente 9 cases à droite de O ;

B à gauche de O par 6,5 cases ;

C est 3½ cellules à droite de O;

K à gauche de O de 3 cases .

Notez dans les notes d'accompagnement.

Ils écoutent, complètent.

Ils terminent la tâche dans un cahier, puis expliquent leurs réponses à voix haute.

Dessiner, marquer l'origine du segment unitaire

Une telle droite est gênante car un même nombre correspond à 2 points sur la droite.

Histoire avant notre ère et notre ère.

Stade IV

Consolidation du matériel étudié.

1.Qu'est-ce qu'une ligne de coordonnées ?

2.Comment construire une ligne de coordonnées ?

1. La ligne droite avec l'origine sélectionnée dessus, le segment unitaire et la direction s'appelle la ligne de coordonnées

2) tracer une ligne droite

marquer le point de départ dessus

définir la ligne d'unité

indiquer la direction

Étape V

Résumer

Qu'avons-nous appris de nouveau aujourd'hui ?

Ligne de coordonnées et nombres négatifs.

Stade VI

Évaluation des connaissances. Marquage.

Devoirs.

Inventez des questions sur le sujet traité (connaître les réponses)

Voir tutoriels vidéo gratuits sur la chaîne Hedgehog Got it.

Cours vidéo sur la chaîne Yozhiku que je vois. S'abonner!

Ligne de coordonnées est appelée une ligne droite avec l'origine sélectionnée dessus (zéro), un segment unitaire et une direction. Chaque nombre naturel peut être associé à un seul point sur la ligne de coordonnées.

Afin de comparer deux nombres situés sur la ligne de coordonnées, vous devez faire attention à la façon dont ils sont situés l'un par rapport à l'autre.

Si le nombre a est situé à gauche du nombre b, alors un< b

Si le nombre a est situé à droite du nombre b, alors a> b

Dans l'OGE, il existe plusieurs types de tâches liées à l'emplacement des nombres sur la ligne de coordonnées. Afin de commencer à résoudre des exemples, rappelons-nous quelques concepts supplémentaires.

La valeur absolue d'un nombre

| un | = (a, a> 0 0, a = 0 - a, a< 0

Le module supprime les signes des nombres.

Si le nombre positif

Si le nombre égal à zéro, alors en prenant la valeur absolue de zéro, le résultat est zéro.

Si le nombre négatif , alors en prenant le module de ce nombre, le résultat est un nombre positif.

Exemples:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Vous vous demandez sûrement pourquoi dans la formule d'extension de module | un | = - a si a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Pour répondre à cette question, réfléchissons à la manière de supprimer le signe moins d'un nombre négatif ? Si un nombre négatif est multiplié par - 1, alors il devient positif.

Exemples:

| − 1 | = − (− 1) = 1