Cet article est consacré à l'analyse de concepts tels qu'un rayon de coordonnées et une ligne de coordonnées. Nous nous attarderons sur chaque concept et examinerons de plus près des exemples. Grâce à cet article, vous pouvez parfaire vos connaissances ou vous familiariser avec le sujet sans l'aide d'un professeur.

Afin de définir le concept de rayon coordonné, il faut avoir une idée de ce qu'est un rayon.

Définition 1

Rayon est une figure géométrique qui a l'origine du rayon de coordonnées et la direction du mouvement. Une ligne droite est généralement tracée horizontalement, pointant vers la droite.

Dans l'exemple, nous voyons que O est le début du rayon.

Exemple 1

Le rayon de référence est dessiné de la même manière, mais diffère de manière significative. Nous définissons un point de départ et mesurons un segment unitaire.

Exemple 2

Définition 2

Segment unitaire est la distance de 0 au point sélectionné pour la mesure.

Exemple 3

À partir de la fin d'un seul segment de ligne, vous devez reporter quelques traits et effectuer un balisage.

Grâce aux manipulations que nous avons faites avec le rayon, il est devenu coordonné. Signez les traits avec des nombres naturels dans la séquence de 1 - par exemple, 2, 3, 4, 5 ...

Exemple 4

Définition 3

Est une échelle qui peut durer indéfiniment.

Souvent, il est représenté par un rayon commençant au point O et un seul segment unitaire est disposé. Un exemple est montré dans la figure.

Exemple 5

Dans tous les cas, nous pouvons continuer l'échelle jusqu'au nombre dont nous avons besoin. Vous pouvez écrire des nombres aussi facilement - sous la poutre ou au-dessus.

Exemple 6

Pour les affichages de coordonnées de rayon, les lettres majuscules et minuscules peuvent être utilisées.

Le principe de l'image de la ligne de coordonnées ne diffère pratiquement pas de l'image du faisceau. C'est simple - dessinez un rayon et complétez-le en une ligne droite, en donnant une direction positive, indiquée par une flèche.

Exemple 7

Passer le faisceau dans la direction opposée, en le complétant par une ligne droite

Exemple 8

Mettez de côté les lignes unitaires en suivant l'exemple ci-dessus

Sur le côté gauche, écrivez les nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5 ... avec le signe opposé. Jetez un œil à l'exemple.

Exemple 9

Vous ne pouvez marquer que les lignes d'origine et d'unité. Voir un exemple pour voir à quoi il ressemblera.

Exemple 10

Définition 4

- c'est une droite, qui est représentée avec un certain point de référence, qui est pris comme 0, un segment unitaire et une direction de mouvement donnée.

Correspondance entre les points de la ligne de coordonnées et les nombres réels

La ligne de coordonnées peut contenir plusieurs points. Ils sont directement liés aux nombres réels. Cela peut être défini comme une correspondance un à un.

Définition 5

Chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel, et chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées.

Afin de mieux comprendre la règle, il faut marquer un point sur la ligne de coordonnées et voir quel nombre naturel correspond à la marque. Si ce point coïncide avec l'origine, il sera marqué d'un zéro. Si le point ne coïncide pas avec l'origine, nous reportons le nombre requis de segments unitaires jusqu'à ce que nous atteignions la marque spécifiée. Le numéro inscrit en dessous correspondra à ce point. Dans l'exemple ci-dessous, nous allons vous montrer clairement cette règle.

Exemple 11

Si nous ne pouvons pas trouver un point en éliminant des segments d'unité, nous devons également marquer des points qui constituent un dixième, un centième ou un millième d'un segment d'unité. À l'aide d'un exemple, vous pouvez examiner cette règle en détail.

En mettant de côté plusieurs de ces segments, nous pouvons obtenir non seulement un nombre entier, mais également un nombre fractionnaire - à la fois positif et négatif.

Les segments de ligne marqués nous aideront à trouver le point nécessaire sur la ligne de coordonnées. Il peut s'agir à la fois de nombres entiers et fractionnaires. Cependant, il y a des points sur la ligne qui sont très difficiles à trouver en utilisant des segments de ligne simples. Ces points correspondent à des fractions décimales. Pour rechercher un tel point, vous devrez reporter un seul segment, le dixième, le centième, le millième, le dix-millième et d'autres parties de celui-ci. Un point de la ligne de coordonnées correspond à un nombre irrationnel (= 3, 141592....).

L'ensemble des nombres réels comprend tous les nombres qui peuvent être écrits sous forme de fraction. Cela vous permet d'identifier la règle.

Définition 6

Chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel spécifique. Différents points définissent différents nombres réels.

Cette correspondance est unique - chaque point correspond à un certain nombre réel. Mais ça marche aussi dans l'autre sens. Nous pouvons également indiquer un point spécifique sur la ligne de coordonnées, qui fera référence à un nombre réel spécifique. Si le nombre n'est pas un nombre entier, nous devons alors marquer plusieurs segments unitaires, ainsi que des dixièmes, des centièmes dans une direction donnée. Par exemple, le nombre 400350 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, qui peut être atteint depuis l'origine en reportant 400 segments unitaires dans le sens positif, 3 segments qui constituent un dixième d'unité et 5 segments - un millième.

Sujet de la leçon :

« Coordonnées de la ligne»

Le but de la leçon :

présenter aux élèves la ligne de coordonnées et les nombres négatifs.

Objectifs de la leçon:

Curriculum : pour initier les élèves à la ligne de coordonnées et aux nombres négatifs.

Développer : développer la pensée logique, élargir ses horizons.

Pédagogique : développement de l'intérêt cognitif, éducation à la culture de l'information.

Plan de cours:

Moment d'organisation. Vérifier les élèves et leur préparation pour la leçon.

Mise à jour des connaissances de base. Questionnement oral des étudiants sur le sujet traité.

Explication du nouveau matériel.

4. Consolidation du matériel étudié.

5. En résumé. Un résumé de ce qui a été appris dans la leçon. Questions des étudiants.

6. Conclusion. Résumez les points principaux de la leçon. Évaluation des connaissances. Marquage.

7. Devoirs. Travail indépendantélèves avec la matière étudiée.

Matériel : craie, planche, toboggans.

Plan d'ensemble élargi

Nom de scène et contenu

Activités

Activités

élèves

Étape I

Moment d'organisation. Salutation.

Remplir le journal.

salue la classe, le chef de classe donne une liste des absents.

saluer

prof

II étape

Mise à jour des connaissances de base.

L'ancien scientifique grec Pythagore a dit : « Les nombres gouvernent le monde. Nous vivons dans ce monde de nombres, et pendant les années scolaires, nous apprenons à travailler avec nombres différents.

1 Quels nombres connaissons-nous déjà grâce à la leçon d'aujourd'hui ?

2 Quels problèmes ces chiffres nous aident-ils à résoudre ?

Aujourd'hui, nous passons à l'étude du deuxième chapitre de notre manuel "Nombres rationnels", où nous élargirons notre connaissance des nombres, et après avoir étudié l'intégralité du chapitre "Nombres rationnels", nous apprendrons à effectuer toutes les actions que vous connaissez avec eux et commencez par le sujet de la ligne de coordonnées.

1.fractions naturelles, fractions, décimales

2.addition, soustraction, multiplication, division, trouver une fraction d'un nombre et un nombre par sa fraction, résoudre diverses équations et problèmes

Stade III

Explication du nouveau matériel.

Prenez une droite AB et divisez-la par un point O en deux rayons supplémentaires - OA et OB. Choisissons un segment unitaire sur une droite et prenons le point O comme origine et direction.

Définitions :

Une ligne droite avec un point de référence sélectionné dessus, un segment unitaire et une direction est appelée ligne de coordonnées.

Le nombre indiquant la position d'un point sur une ligne droite est appelé la coordonnée de ce point.

Comment tracer une ligne de coordonnées ?

prendre une ligne droite

définir la ligne d'unité

indiquer la direction

La ligne de coordonnées peut être représentée de différentes manières : horizontalement, verticalement et à tout autre angle par rapport à l'horizon, et a un début mais pas de fin.

Exercice 1. Lesquelles des lignes suivantes ne sont pas coordonnées ? (Diapositive)

Dessinons une ligne de coordonnées, marquons l'origine, un segment unitaire et fixons les points 1,2,3,4 à gauche et à droite, et ainsi de suite.

Regardons la ligne de coordonnées résultante. Pourquoi une telle ligne droite est-elle gênante ?

La direction à droite de l'origine est dite positive et la direction sur la droite est indiquée par une flèche. Les nombres situés à droite du point O sont dits positifs. Les nombres négatifs sont placés à gauche du point O, et la direction à gauche du point O est dite négative (la direction négative n'est pas indiquée). Si la ligne de coordonnées est située verticalement, alors au-dessus de l'origine - nombres positifs, en dessous de l'origine - négatif. Les nombres négatifs sont écrits avec un signe "-". Ils lisent : « Moins un », « Moins deux », « Moins trois », etc. Numéro 0 - l'origine n'est ni positive ni négative. Il sépare les nombres positifs des nombres négatifs.

La résolution d'équations et le concept de « dette » dans les calculs commerciaux ont conduit à des nombres négatifs.

Les nombres négatifs sont apparus bien plus tard que les nombres naturels et les fractions ordinaires. Les premières informations sur les nombres négatifs se trouvent chez les mathématiciens chinois du IIe siècle. avant JC e. Les nombres positifs ont ensuite été interprétés comme une propriété et les nombres négatifs comme une dette, une pénurie. En Europe, la reconnaissance est venue mille ans plus tard, et même alors pendant longtemps les nombres négatifs étaient appelés « faux », « imaginaires » ou « absurdes ». Au 17ème siècle, les nombres négatifs ont reçu une représentation géométrique visuelle sur l'axe des nombres

Vous pouvez également donner des exemples de ligne de coordonnées : thermomètre, comparaison des sommets et des creux des montagnes (le niveau de la mer est pris égal à zéro), distance sur la carte, cage d'ascenseur, maisons, grues.

Pense connaissez-vous d'autres exemples de la ligne de coordonnées?

Tâches.

Tâche 2. Nommez les coordonnées des points.

Mission 3. Tracer des points sur la ligne de coordonnées

Devoir4 ... Tracez une ligne horizontale et marquez dessus le point O. Marquez les points A, B, C, K sur cette ligne, si vous savez que :

A représente 9 cases à droite de O ;

B à gauche de O par 6,5 cases ;

C est 3½ cellules à droite de O;

K à gauche de O de 3 cases .

Notez dans les notes d'accompagnement.

Ils écoutent, complètent.

Ils terminent la tâche dans un cahier, puis expliquent leurs réponses à voix haute.

Dessiner, marquer l'origine du segment unitaire

Une telle ligne droite est gênante car un même nombre correspond à 2 points sur la ligne droite.

Histoire avant notre ère et notre ère.

Stade IV

Consolidation du matériel étudié.

1.Qu'est-ce qu'une ligne de coordonnées ?

2.Comment construire une ligne de coordonnées ?

1. La ligne droite avec l'origine sélectionnée dessus, le segment unitaire et la direction s'appelle la ligne de coordonnées

2) tracer une ligne droite

marquer le point de départ dessus

définir la ligne d'unité

indiquer la direction

Étape V

Résumer

Qu'avons-nous appris de nouveau aujourd'hui ?

Ligne de coordonnées et nombres négatifs.

Stade VI

Évaluation des connaissances. Marquage.

Devoirs.

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Ligne de coordonnées est appelée une ligne droite avec un point de référence (zéro), un segment unitaire et une direction sélectionnée dessus. Chaque nombre naturel peut être associé à un seul point sur la ligne de coordonnées.

Afin de comparer deux nombres situés sur la ligne de coordonnées, vous devez faire attention à la façon dont ils sont situés l'un par rapport à l'autre.

Si le nombre a est situé à gauche du nombre b, alors un< b

Si le nombre a est situé à droite du nombre b, alors a> b

Dans l'OGE, il existe plusieurs types de tâches liées à l'emplacement des nombres sur la ligne de coordonnées. Afin de commencer à résoudre des exemples, rappelons-nous quelques concepts supplémentaires.

La valeur absolue d'un nombre

| un | = (a, a> 0 0, a = 0 - a, a< 0

Le module supprime les signes des nombres.

Si le nombre positif

Si le nombre égal à zéro, alors en prenant la valeur absolue de zéro, le résultat est zéro.

Si le nombre négatif , alors en prenant le module de ce nombre, le résultat est un nombre positif.

Exemples:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Vous vous demandez sûrement pourquoi dans la formule d'extension de module | un | = - a si a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Pour répondre à cette question, réfléchissons à la manière de supprimer le signe moins d'un nombre négatif ? Si un nombre négatif est multiplié par - 1, alors il devient positif.

Exemples:

| − 1 | = − (− 1) = 1

À la fin du chapitre 1, nous avons parlé du fait qu'au cours de l'algèbre, vous et moi devons apprendre à décrire des situations réelles avec des mots (modèle verbal), algébriquement (modèle algébrique ou, comme disent souvent les mathématiciens, modèle analytique), graphiquement (modèle graphique ou géométrique). Toute la première section cahier de texte(chapitres 1-5) a été consacré à l'étude du langage mathématique avec lequel les modèles analytiques sont décrits.

À partir du chapitre 6, nous étudierons non seulement de nouveaux modèles analytiques, mais aussi graphiques (géométriques). Ils sont construits à l'aide d'une ligne de coordonnées, avion coordonné... Ces concepts vous sont un peu familiers depuis le cours de mathématiques de la 5e à la 6e année.

La ligne droite / sur laquelle le départ est sélectionné point O (origine), échelle (simple section, c'est-à-dire le segment dont la longueur est considérée comme égale à 1) et la direction positive, est appelé ligne de coordonnées ou axe de coordonnées (Fig. 7); le terme "axe x" est également utilisé.

Chaque nombre correspond à un seul point de la droite. Par exemple, le nombre 3,5 correspond au point M (Fig. 8), qui est éloigné de l'origine, c'est-à-dire du point O, à une distance égale à 3,5 (dans une échelle donnée), et est reporté du point O dans une direction donnée (positive). Le nombre -4 correspond au point P (voir fig. 8), qui est éloigné du point O d'une distance égale à 4, et est décalé du point O dans le sens négatif, c'est-à-dire dans le sens opposé à celui donné.

L'inverse est également vrai : chaque point de la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre.

Par exemple, le point K, distant du point O à une distance de 5,4 dans le sens positif (donné), correspond au nombre 5,4, et le point N, distant du point O à une distance de 2,1 dans le sens négatif, correspond au nombre - 2.1 (voir fig. 8).

Les nombres indiqués sont appelés les coordonnées des points correspondants. Ainsi, sur la fig. 8 point K a une coordonnée de 5,4 ; point P - coordonnée -4; point M - coordonnée 3,5 ; point N - coordonnée -2.1 ; point O - coordonnée 0 (zéro). C'est de là que vient le nom - "ligne de coordonnées". Au sens figuré, la ligne de coordonnées est une maison densément peuplée, les locataires de cette maison sont des points et les coordonnées des points sont les numéros des appartements dans lesquels vivent les points de locataire.

Pourquoi avez-vous besoin d'une ligne de coordonnées? Pourquoi caractériser un point par un nombre et un nombre par un point ? Y a-t-il un avantage à cela? Oui il y a.
Par exemple, supposons que deux points soient donnés sur la ligne de coordonnées : A - avec la coordonnée o et B - avec la coordonnée b (généralement dans de tels cas, ils écrivent plus court :
A (a), B (b)). Supposons que nous ayons besoin de trouver la distance d entre les points A et B. Il s'avère qu'au lieu de faire mesures géométriques, il suffit d'utiliser la formule toute faite d = (a - b) (vous l'avez étudiée en 6e).
Ainsi, sur la figure 8, nous avons :

Cherchant à la concision du raisonnement, les mathématiciens ont convenu au lieu de la longue phrase "point A de la ligne de coordonnées ayant la coordonnée a", d'utiliser une phrase courte: "point a", et, en conséquence, dans le dessin le point considéré à désigner par sa coordonnée. Ainsi, sur la figure 9, une ligne de coordonnées est représentée, sur laquelle les points sont marqués - 4 ; - 2.1 ; 0 ; une; 3.5 ; 5.4.

La ligne de coordonnées permet de passer librement du langage algébrique au langage géométrique et vice versa. Par exemple, supposons que le nombre a soit inférieur au nombre b. En langage algébrique, cela s'écrit comme suit : a< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Cependant, les langages algébriques et géométriques sont des variétés du même langage mathématique que nous étudions.

Faisons connaissance avec plusieurs autres éléments du langage mathématique associés à la ligne de coordonnées.

1. Marquez le point a sur la ligne de coordonnées. Considérez tous les points qui se trouvent sur une ligne droite à droite du point a et marquez la partie correspondante avec des hachures de ligne droite de coordonnées (Fig. 10). Cet ensemble de points (nombres) s'appelle un rayon ouvert et est noté (a, + oo), où le signe + oo se lit : « plus l'infini » ; il est caractérisé par l'inégalité x > a (par dg on entend tout point du rayon).

Faites attention: le point a n'appartient pas à un rayon ouvert, mais si ce point doit être attaché à un rayon ouvert, ils écrivent x> a ou, en conséquence, peignent le point b du dessin (Fig. 13);

pour (- oo, b) nous utiliserons aussi le terme rayon.

3. Laissez les points a et b être marqués sur la ligne de coordonnées, et a< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Cet ensemble (de nombres) est appelé un intervalle et est noté (a, b).

Elle est caractérisée par la double inégalité stricte a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Remarque : l'intervalle (a, b) est l'intersection (partie commune) de deux rayons ouverts (-oo, b) et (a, + oo) - cela est clairement visible sur la figure 15.

Si nous ajoutons ses extrémités à l'intervalle (a, b), c'est-à-dire les points a et b, alors nous obtenons le segment [a, b] (Fig. 16),

qui se caractérise par une double inégalité non stricte a< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Le segment [a, b] est l'intersection (partie commune) de deux rayons (-oo, b] et et qui se caractérise à l'aide de doubles inégalités : a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Ainsi, nous avons introduit cinq nouveaux termes du langage mathématique : rayon, rayon ouvert, intervalle, segment, demi-intervalle. Il existe également un terme général : intervalles numériques.

La ligne de coordonnées elle-même est également considérée comme un intervalle numérique ; pour cela, utilisez la notation (-oo, + oo).

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A. V. Pogorelov, Géométrie pour les grades 7-11, Manuel pour les établissements d'enseignement

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Ainsi le segment unitaire et son dixième, centième, etc., les parts permettent d'accéder aux points de la ligne de coordonnées, qui correspondront aux fractions décimales finales (comme dans l'exemple précédent). Cependant, il y a des points sur la ligne de coordonnées auxquels nous ne pouvons pas accéder, mais dont nous pouvons nous rapprocher autant que nous le souhaitons, en utilisant tout ce qui est de plus en plus petit jusqu'à une fraction infiniment petite d'un segment unitaire. Ces points correspondent à des fractions décimales périodiques et non périodiques infinies. Voici quelques exemples. L'un de ces points sur la ligne de coordonnées correspond au nombre 3.711711711… = 3, (711). Pour approcher ce point, il faut reporter 3 segments unitaires, 7 dixièmes de celui-ci, 1 centième, 1 millième, 7 dix millièmes, 1 cent millième, 1 millionième de segment unitaire, etc. Et un point de plus de la ligne de coordonnées correspond à pi (π = 3,141592 ...).

Puisque les éléments de l'ensemble des nombres réels sont tous des nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions décimales finies et infinies, toutes les informations ci-dessus dans ce paragraphe nous permettent d'affirmer que nous avons attribué un nombre réel spécifique à chaque point de la ligne de coordonnées, alors qu'il est clair que différents points correspondent à différents nombres réels.

Il est également assez évident que cette correspondance est un à un. C'est-à-dire que nous pouvons attribuer un nombre réel à un point spécifié sur la ligne de coordonnées, mais nous pouvons également indiquer un point spécifique sur la ligne de coordonnées pour un nombre réel donné auquel ce nombre réel correspond. Pour ce faire, on va devoir reporter de l'origine dans la direction souhaitée un certain nombre de segments unitaires, ainsi que des dixièmes, centièmes, etc., des fractions de segment unitaire. Par exemple, le nombre 703.405 correspond à un point sur la ligne de coordonnées, qui peut être atteint depuis l'origine en reportant dans le sens positif 703 segments unitaires, 4 segments qui composent un dixième d'unité, et 5 segments qui composent un millième d'unité.

Ainsi, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un nombre réel, et chaque nombre réel a sa place sous la forme d'un point sur la ligne de coordonnées. C'est pourquoi la ligne de coordonnées est très souvent appelée ligne numérique.

Coordonnées des points sur une ligne de coordonnées

Le nombre correspondant à un point sur la ligne de coordonnées est appelé la coordonnée de ce point.

Dans le paragraphe précédent, nous avons dit que chaque nombre réel correspond à un seul point sur la ligne de coordonnées, par conséquent, la coordonnée d'un point détermine de manière unique la position de ce point sur la ligne de coordonnées. En d'autres termes, la coordonnée d'un point définit de manière unique ce point sur la ligne de coordonnées. D'autre part, chaque point sur la ligne de coordonnées correspond à un seul nombre réel - la coordonnée de ce point.

Il ne reste plus qu'à dire les appellations adoptées. La coordonnée du point est écrite entre parenthèses à droite de la lettre qui désigne le point. Par exemple, si le point M a une coordonnée de -6, alors vous pouvez écrire M (-6) et l'enregistrement du formulaire signifie que le point M sur la ligne de coordonnées a une coordonnée.

Bibliographie.

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• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algèbre : manuel pour la 8e année les établissements d'enseignement.