Чому рівні кути при основі рівнобедреного трикутника. Рівнобедрений трикутник

Властивості рівнобедреного трикутника висловлюють наступні теореми.

Теорема 1. У трикутник кути при основі рівні.

Теорема 2. У трикутник бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Теорема 3. У трикутник медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою.

Теорема 4. У трикутник висота, проведена до основи, є бісектрисою і медіаною.

Доведемо одну з них, наприклад теорему 2.5.

Доведення. Розглянемо трикутник ABC з основою ВС і доведемо, що ∠ В = ∠ С. Нехай AD - бісектриса трикутника ABC (рис.1). Трикутники ABD і ACD рівні за першою ознакою рівності трикутників (АВ = АС за умовою, AD - загальна сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так як AD - бісектриса). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ С. Теорема доведена.

З використанням теореми 1 встановлюється наступна теорема.

Теорема 5. Третя ознака рівності трикутників. Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні (рис. 2).

Зауваження. Пропозиції, встановлені в прикладах 1 і 2, висловлюють властивості серединного перпендикуляра до відрізка. З цих пропозицій слід, що серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Приклад 1.Довести, що точка площині, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикуляре до цього відрізка.

Рішення. Нехай точка М рівновіддалена від кінців відрізка АВ (рис. 3), т. Е. AM = ВМ.

Тоді Δ АМВ рівнобедрений. Проведемо через точку М і середину Про відрізка АВ пряму р. Відрізок МО з побудови є медіана рівнобедреного трикутника АМВ, а отже (теорема 3), і висота, т. Е. Пряма МО, є серединний перпендикуляр до відрізка АВ.

Приклад 2.Довести, що кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від його кінців.

Рішення. Нехай р - серединний перпендикуляр до відрізка АВ і точка О - середина відрізка АВ (див. Рис. 3).

Розглянемо довільну точку М, що лежить на прямій р. Проведемо відрізки AM і ВМ. Трикутники АОМ і ВВП рівні, так як у них кути при вершині Про прямі, катет ОМ загальний, а катет ОА дорівнює катету ОВ за умовою. З рівності трикутників АОМ і ВВП слід, що AM = ВМ.

Приклад 3.У трикутнику ABC (див. Рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в трикутнику DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Порівняти трикутники ABC і DEF. Знайти відповідно рівні кути.

Рішення. Дані трикутники рівні за третьою ознакою. Відповідно рівні кути: А і Е (лежать проти рівних сторін ВС і FD), В і F (лежать проти рівних сторін АС і DE), С і D (лежать проти рівних сторін АВ і EF).

Приклад 4.На малюнку 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100 °.

Знайти кут D.

Рішення. Розглянемо трикутники ABC і ADC. Вони рівні за третьою ознакою (АВ = DC, ВС = AD по умові і сторона АС - загальна). З рівності цих трикутників випливає, що ∠ В = ∠ D, але кут В дорівнює 100 °, значить, і кут D дорівнює 100 °.

Приклад 5.У трикутник ABC з основою AC зовнішній кут при вершині C дорівнює 123 °. Знайдіть величину кута ABC. Відповідь дайте у градусах.

Відео-рішення.

Серед всіх трикутників є два особливих види: прямокутні трикутники і трикутник. Чим же ці види трикутників такі вже особливі? Ну, по-перше, такі трикутники надзвичайно часто виявляються головними дійовими «особами» завдань ЄДІ першої частини. А по-друге, завдання про прямокутні і трикутник вирішуються набагато легше, ніж інші завдання з геометрії. Потрібно всього лише знати кілька правил і властивостей. Все найцікавіше обговорюється у відповідній темі, а зараз розглянемо трикутник. І перш за все, що ж таке - трикутник. Або, як кажуть математики, яке визначення рівнобедреного трикутника?

Подивися, як це виглядає:

Як і у прямокутного трикутника, у рівнобедреного трикутника є спеціальні назви для сторін. Дві рівні сторони називаються бічними сторонами, А третя сторона - підставою.

І знову увагу на картинку:

Може бути, звичайно, і так:

Так що будь уважним: бічна сторона - одна з двох рівних сторінв трикутник, а підстава - третя сторона.

Чим же так вже й хороший трикутник? Щоб це зрозуміти, давай проведемо висоту до основи. Ти пам'ятаєш, що таке висота?

Що ж вийшло? З одного рівнобедреного трикутника вийшло два прямокутних.

Це вже добре, але так вийде в будь-якому, самому «кособедренном» трикутнику.

Чим же відрізняється картинка для рівнобедреного трикутника? Дивись ще раз:

Ну, по-перше, звичайно, цим дивним математикам мало просто бачити - потрібно неодмінно доводити. А то раптом ці трикутники трохи різні, а ми вважатимемо їх однаковими.

Але не переживай: в даному випадку доводити майже так само просто, як і бачити.

Почнемо? Подивися уважно, у нас є:

І, значить,! Чому? Так ми просто знайдемо і, і з теореми Піфагора (пам'ятаючи ще при цьому, що)

Переконалися? Ну ось, тепер у нас

А вже за трьома сторонам - найлегший (третій) ознака рівності трикутників.

Ну ось, наш трикутник розділився на два однакових прямокутних.

Бачиш, як цікаво? Вийшло, що:

Як же про це прийнято говорити у математиків? Давай по порядку:

(Згадуємо тут, що медіана - лінія, проведена з вершини, яка ділить сторону навпіл, а бісектриса - кут.)

Ну ось, тут ми обговорили, що хорошого можна побачити, якщо дано трикутник. Ми вивели, що у рівнобедреного трикутника кути при основі рівні, а висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.

І тепер виникає інше питання: а як дізнатися трикутник? Тобто, як кажуть математики, які ознаки рівнобедреного трикутника?

І виявляється, що потрібно просто «перевернути» все висловлювання навпаки. Так, звичайно, не завжди буває, але трикутник все-таки відмінна штука! Що ж вийде після «перевертання»?

Ну ось дивись:
Якщо збігаються висота і медіана, то:

Якщо збігаються висота і бісектриса, то:


Якщо збігаються бісектриса і медіана, то:

Ну ось, не забувай і користуйся:

• Якщо дан рівнобедрений трикутний трикутник, сміливо проводь висоту, отримуй два прямокутних трикутника і вирішуй завдання вже про прямокутний трикутник.
• Якщо дано, що два кути рівні, То трикутник точнорівнобедрений і можна проводити висоту і .... (Будинок, який побудував Джек ...).
• Якщо виявилося, що висота розділена сторону навпіл, то трикутник - рівнобедрений з усіма наслідками, що випливають бонусами.
• Якщо виявилося, що висота розділила кут полам - теж рівнобедрений!
• Якщо бісектриса поділила сторону навпіл або медіана - кут, то це теж буває тількив трикутник

Давай подивимося, як виглядає в задачах.

завдання 1(Найпростіша)

У трикутнику сторони і рівні, а. Знайти.

вирішуємо:

Спочатку малюнок.

Що тут - підстава? Звісно, ​​.

Згадуємо, що якщо, то і.

Оновлений малюнок:

Позначимо за. Чому там дорівнює сума кутів трикутника? ?

користуємося:

Ось і відповідь: .

Нескладно, правда? Навіть висоту проводити не довелося.

завдання 2(Теж не дуже хитра, але потрібно повторити тему)

У трикутнику,. Знайти.

вирішуємо:

Трикутник-то - рівнобедрений! Проводимо висоту (це і є фокус, за допомогою якого зараз все вирішиться).

Тепер «викреслюємо з життя», розглянемо тільки.

Отже, в маємо:

Згадуємо табличное значення косинусів (ну, або дивимося в шпаргалку ...)

Залишилося знайти:.

відповідь: .

Зауважимо, що нам тут дужепотрібні були знання, що стосуються прямокутного трикутника і «табличних» синусів і косинусів. Дуже часто так і буває: теми, «Рівнобедрений трикутник» і в завданнях ходять в зв'язках, а з іншими темами не дуже дружать.

Рівнобедрений трикутник. Середній рівень.

ці дві рівні сторониназиваються бічними сторонами, а третя сторона - підстава рівнобедреного трикутника.

Подивися на малюнок: і - бічні сторони, - підстава рівнобедреного трикутника.

Давай на одному малюнку зрозуміємо, чому так виходить. Проведемо з точки висоту.

Значить, у них рівні всі відповідні елементи.

Всі! Одним махом (висотою) довели відразу всі твердження.

І ти запам'ятай: щоб вирішити завдання про трикутник часто буває дуже корисно опустити висоту на підставу рівнобедреного трикутника і розділити його на два рівних прямокутних трикутника.

Ознаки рівнобедреного трикутника

Вірні і зворотні твердження:

Майже всі з цих тверджень знову можна довести «одним махом».

1. Отже, нехай в виявилися рівні і.

Проведемо висоту. тоді

2. a) Тепер нехай в якомусь трикутнику збігаються висота і бісектриса.

2. б) А якщо збігаються висота і медіана? Все майже так само, нітрохи не складніше!

- по двом катетам

2. в) А ось якщо немає висоти, Яка опущена на основу рівнобедреного трикутника, то немає і ніяких спочатку прямокутних трикутників. Погано!

Але вихід є - читай його в наступному рівні теорії, оскільки тут доказ складніше, а поки просто запам'ятай, що якщо медіана і бісектриса збіглися, то трикутник теж виявиться рівнобедреним, і висота все-таки теж співпаде з цими биссектрисой і медіаною.

Підсумуємо:

1. Якщо трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні, і висота, бісектриса і медіана, проведені до основи, збігаються.
2. Якщо в якомусь трикутнику знайдуться два рівних кута, або якісь дві з трьох ліній (бісектриса, медіана, висота) співпадуть, то такий трикутник - рівнобедрений.

Рівнобедрений трикутник. Короткий опис і основні формули

Трикутник - трикутник, у якого є дві рівні сторони.

Ознаки рівнобедреного трикутника:

1. Якщо в деякому трикутнику два кути рівні, то він - рівнобедрений.
2. Якщо в деякому трикутнику співпадають:
   а) висота і бісектрисаабо
   б) висота і медіанаабо
   в) медіана і бісектриса,
   проведені до однієї сторони, то такий трикутник - рівнобедрений.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що тільки 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, значить ти потрапив в ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією по цій темі. І, повторюся, це ... це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього може не вистачити ...

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, НАЙГОЛОВНІШЕ, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ ...

Люди, які отримали гарну освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто його не отримав. Це статистика.

Але і це - не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам ...

Що потрібно, щоб бути напевно краще за інших на ЄДІ і бути в кінцевому підсумку ... щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання ПО ЦІЙ ТЕМІ.

На іспиті у тебе не будуть питати теорію.

Тобі потрібно буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (БАГАТО!), Ти обов'язково десь нерозумно помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті - треба багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірник, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково) і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань потрібно допомогти продовжити життя підручником YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням в цій статті -
2. Відкрий доступ до всіх прихованим завданням у всіх 99-ти статтях підручника - Купити підручник - 899 руб

Так, у нас в підручнику 99 таких статей і доступ для всіх завдань і всіх прихованих текстів в них можна відкрити відразу.

Доступ до всіх прихованим завданням надається на ВСЕ час існування сайту.

І на закінчення ...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це абсолютно різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Геометрія - це не тільки предмет в школі, за яким потрібно отримати відмінну оцінку. Це ще і знання, які часто потрібні в житті. Наприклад, при будівництві будинку з високим дахом необхідно розрахувати товщину колод і їх кількість. Це нескладно, якщо знати, як знаходити висоту в трикутник. Архітектурні споруди базуються на знанні властивостей геометричних фігур. Форми будівель часто візуально нагадують їх. Єгипетські піраміди, пакети з молоком, художня вишивка, північні розпису і навіть пиріжки - це все трикутники, які оточують людину. Як казав Платон, весь світ базується на трикутниках.

Рівнобедрений трикутник

Трикутник є рівнобедреним, якщо він має дві рівних боку. Їх завжди називають бічними. Сторона, розміри якої відрізняються, отримала назву підстави.

Основні поняття

Як і будь-яка наука, геометрія має свої основні правила і поняття. Їх досить багато. Розглянемо лише ті, без яких наша тема буде кілька незрозуміла.

Висота - це пряма лінія, проведена перпендикулярно до протилежної сторони.

Медіана - це відрізок, спрямований з будь-якої вершини трикутника виключно до середини протилежної сторони.

Бісектриса кута - це промінь, що розділяє кут навпіл.

Бісектриса трикутника - це пряма, вірніше, відрізок з'єднує вершину з протилежною стороною.

Дуже важливо запам'ятати, що бісектриса кута - це обов'язково промінь, а бісектриса трикутника - це частина такого променя.

Кути при основі

Теорема говорить, що кути, розташовані при підставі будь-якого рівнобедреного трикутника, завжди рівні. Довести цю теорему дуже просто. Розглянемо зображений трикутник АВС, у якого АВ = ВС. З кута АВС необхідно провести бісектрису ВД. Тепер слід розглянути два отриманих трикутника. За умовою АВ = ВС, сторона ВД у трикутників загальна, а кути АВД і СВД рівні, адже ВД - бісектриса. Згадавши перша ознака рівності, можна сміливо зробити висновок, що розглянуті трикутники рівні. А отже, рівні всі відповідні кути. І, звичайно, сторони, але до цього моменту повернемося пізніше.

Висота рівнобедреного трикутника

Основна теорема, на якій базується рішення практично всіх задач, звучить так: висота в трикутник є бісектрисою і медіаною. Щоб зрозуміти її практичний сенс (або суть), слід зробити допоміжне посібник. Для цього необхідно вирізати з паперу трикутник. Найлегше це зробити зі звичайного зошита листка в клітинку.

Зігніть отриманий трикутник навпіл, поєднавши бічні сторони. Що вийшло? Два рівних трикутника. Тепер слід перевірити припущення. Розгорніть отримане орігамі. Прокресліть лінію згину. За допомогою транспортира перевірте кут між прокресленою лінією і підставою трикутника. Про що говорить кут в 90 градусів? Про те, що прокреслена лінія - перпендикуляр. За визначенням - висота. Як знаходити висоту в трикутник, ми розібралися. Тепер займемося кутами при вершині. За допомогою того ж транспортира перевірте кути, утворені тепер уже висотою. Вони рівні. Значить, висота одночасно є і бісектрисою. Озброївшись лінійкою, виміряйте відрізки, на які розбиває висота підставу. Вони рівні. Отже, висота в трикутник ділить підставу навпіл і є медіаною.

доказ теореми

Наочний посібник яскраво демонструє істинність теореми. Але геометрія - наука досить точна, тому вимагає доказів.

Під час розгляду рівності кутів при підставі було доведено рівність трикутників. Нагадаємо, ВД - бісектриса, а трикутники АВД і СВД рівні. Висновок був такий: відповідні сторони трикутника і, природно, кути рівні. Значить, АТ = СД. Отже, ВД - медіана. Залишилося довести, що ВД є висотою. Виходячи з рівності розглянутих трикутників, виходить, що кут АДВ дорівнює куту СДВ. Але ці два кути є суміжними, і, як відомо, дають в сумі 180 градусів. Отже, чому вони рівні? Звичайно, 90 градусам. Таким чином, ВД - це висота в трикутник, проведена до основи. Що і потрібно було довести.

Основні ознаки

• Щоб успішно вирішувати завдання, слід запам'ятати основні ознаки рівнобедрених трикутників. Вони як би протилежні теорем.
• Якщо в результаті виконання завдання виявляється рівність двох кутів, значить, ви маєте справу з рівнобедреним трикутником.
• Якщо вдалося довести, що медіана є одночасно і висотою трикутника, сміливо укладайте - трикутник рівнобедрений.
• Якщо бісектриса є і висотою, то, спираючись на основні ознаки, трикутник відносять до рівнобедреним.
• І, звичайно, якщо медіана виступає і в ролі висоти, то такий трикутник - рівнобедрений.

Формула висоти 1

Однак для більшості завдань потрібно знайти арифметичну величину висоти. Саме тому розглянемо, як знаходити висоту в трикутник.

Повернемося до представленої вище фігурі АВС, у якій а - бічні сторони, в - підстава. ВД - висота цього трикутника, вона має позначення h.

Що являє собою трикутник АВД? Так як ВД - висота, то трикутник АВД - прямокутний, катет якого необхідно знайти. Скориставшись формулою Піфагора, отримуємо:

АВ² = АД² + ВД²

Визначивши з виразу ВД і підставивши прийняті раніше позначення, отримаємо:

Н² = а² - (в / 2) ².

Вам потрібно буде вийняти корінь:

Н = √а² - в² / 4.

Якщо винести з під знаку кореня ¼, то формула буде мати вигляд:

Н = ½ √4а² - в².

Так знаходиться висота в трикутник. Формула випливає з теореми Піфагора. Навіть якщо забути цю символічну запис, то, знаючи метод знаходження, завжди можна її вивести.

Формула висоти 2

Формула, описана вище, є основною і найчастіше використовується при вирішенні більшості геометричних задач. Але вона не єдина. Іноді в умови, замість підстави, дано значення кута. При таких даних як знаходити висоту в трикутник? Для вирішення подібних завдань доцільно використовувати іншу формулу:

де Н - висота, спрямована до основи,

а - бічна сторона,

α - кут при підставі.

Якщо в задачі дано значення кута при вершині, то висота в трикутник знаходиться наступним чином:

Н = а / cos (β / 2),

де Н - висота, опущена на основу,

β - кут при вершині,

а - бічна сторона.

Прямокутний трикутник

Дуже цікавою властивістю володіє трикутник, вершина якого дорівнює 90 градусам. Розглянемо АВС. Як і в попередніх випадках, ВД - висота, спрямована до основи.

Кути при основі рівні. Обчислити їх великих труднощів не складе:

α = (180 - 90) / 2.

Таким чином, кути, що знаходяться при підставі, завжди по 45 градусів. Тепер розглянемо трикутник АДВ. Він також є прямокутним. Знайдемо кут АВД. Шляхом нескладних обчислень отримуємо 45 градусів. А, отже, цей трикутник не тільки прямокутний, а й рівнобедрений. Сторони АТ і ВД є бічними сторонами та є рівними між собою.

Але сторона АТ в той же час є половиною боку АС. Виходить, що висота в трикутник дорівнює половині підстави, а якщо записати у вигляді формули, то отримаємо такий вираз:

Слід не забувати, що дана формула є виключно окремим випадком, і може бути використана тільки для прямокутних рівнобедрених трикутників.

Золоті трикутники

Дуже цікавим є золотий трикутник. У цій фігурі ставлення збоку до основи дорівнює величині, названої числом Фідія. Кут, розташований при вершині - 36 градусів, при підставі - 72 градуси. Цим трикутником захоплювалися піфагорійці. Принципи золотого трикутника покладені в основу безлічі безсмертних шедеврів. Відома всім побудована на перетині рівнобедрених трикутників. Для багатьох творінь Леонардо да Вінчі використовував принцип «золотого трикутника». Композиція «Джоконди» заснована саме на фігурах, які створюють собою правильний зірчастий п'ятикутник.

Картина «Кубізм», одне з творінь Пабло Пікассо, заворожує погляд покладеними в основу рівнобокими трикутниками.

Рівнобедрений трикутник- це трикутник, в якому довжини двох його сторін рівні між собою.

Примітка. З визначення рівнобедреного трикутника випливає, що правильний трикутник також є рівнобедреним. Однак, необхідно пам'ятати, що зворотне твердження - невірно.

Властивості рівнобедреного трикутника

Властивості, наведені нижче, використовуються при вирішенні завдань. Оскільки вони широко відомі, то мається на увазі, що вони не потребують пояснення. Тому в текстах завдань посилання на них опущена.

• кути рівніміж собою.
• Бісектриси, медіани і висоти, Проведені з кутів, протилежних рівним сторонам трикутника, рівніміж собою.
• Бісектриса, медіана і висота, Проведені до основи, збігаютьсяміж собою.
• Центри вписаного і описаного кіллежать на висоті, бісектрисі і медіані (вони збігаються) проведених до основи.
• кути, Протилежні рівним сторонам рівнобедреного трикутника, завжди гострі.

Сторони в трикутник можуть бути обчислені за допомогою формул, що виражають їх довжину через інші сторони і кути, величина яких відома.

Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює частці від ділення підстави на подвійний косинус кута при підставі (Формула 1). Дане тотожність може бути отримано шляхом нескладних перетворень з теореми косинусів.

Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює добутку збоку на квадратний корінь з подвоєною різниці одиниці і косинуса кута при вершині (Формула 2)

Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку збоку на синус половини кута при вершині. (Формула 3)

Підстава рівнобедреного трикутника дорівнює подвоєному добутку збоку на косинус кута при його підставі (Формула 4).

Радіус вписаного кола в трикутник

Позначення в формулах, можна подивитися на малюнку вище. Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна знайти, виходячи з величин підстави і кожного боку. (Формула 1) Радіус вписаного кола для рівнобедреного трикутника можна визначити, виходячи з величин підстави і висоти, проведеної до цього підстави (Формула 2) Радіус вписаного в трикутник кола можна також обчислити через довжину бічної сторони і висоту, проведену до основи трикутника (Формула 3) Знання величини кута між бічними сторонами і довжини підстави також дозволяє визначити радіус вписаного кола (Формула 4) Аналогічна формула (5) дозволяє визначити радіус вписаного кола через бічні сторони і кут між ними

Ознаки рівнобедреного трикутника

Трикутник, у якого присутні перераховані нижче ознаки, є рівнобедреним.

• Два кути трикутника рівні
• Висота збігається з медіаною
• Висота збігається з бісектрисою
• Бісектриса збігається з медіаною
• Дві висоти рівні
• Дві медіани рівні
• Дві бісектриси рівні

Площа рівнобедреного трикутника

Площа рівнобедреного трикутника знаходиться за наступними формулами:

,
де
a- довжина однієї з двох рівних сторін трикутника
b- довжина підстави
α - величина одного з двох рівних кутів при підставі

β - величина кута між рівними сторонами трикутника і протилежного його основи.