Дана стаття присвячена розбору таких понять, як координатний промінь та координатна пряма. Ми зупинимося на кожному понятті і докладно розглянемо приклади. Завдяки цій статті ви зможете освіжити свої знання або ознайомитися з темою без допомоги викладача.

Для того, щоб визначити поняття координатного променя, слід мати уявлення про те, що таке промінь.

визначення 1

Луч - це геометрична фігура, яка має початок відліку координатного променя і напрям руху. Пряму зазвичай зображують горизонтально, вказуючи напрямок направо.

На прикладі ми бачимо, що O є початком променя.

приклад 1

Координатний промінь зображується по тій же схемі, але істотно відрізняється. Ми ставимо крапку відліку і відміряє одиничний інтервал.

приклад 2

визначення 2

одиничний інтервал - це відстань від 0 до точки, обраної для вимірювання.

приклад 3

Від кінця одиничного відрізка потрібно відкласти кілька штрихів і зробити розмітку.

Завдяки маніпуляціям, які ми виконали з променем, він став координатним. Підпишіть штрихи натуральними числами в послідовності від 1 - наприклад, 2, 3, 4, 5 ...

приклад 4

визначення 3

- це шкала, яка може тривати до нескінченності.

Найчастіше його зображують променем з початком в точці O, і відкладають єдиний одиничний інтервал. Приклад вказано на малюнку.

приклад 5

Ми в будь-якому випадку зможемо продовжити шкалу до того числа, яке нам необхідно. Ви можете записувати числа як зручно - під променем або над ним.

приклад 6

Для відображень координат променя можуть використовуватися як заголовні, як і малі літери.

Принцип зображення координатної прямої практично не відрізняється від зображення променя. Все просто - прокреслите промінь і доповніть до прямої, надавши позитивний напрямок, яке вказується стрілкою.

приклад 7

Проведіть промінь в протилежну сторону, доповнивши його до прямої

приклад 8

Відкладіть поодинокі відрізки за прикладом, вказаною вище

З лівого боку запишіть натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5 ... з протилежним знаком. Зверніть увагу на приклад.

приклад 9

Ви можете відзначити тільки початок відліку і поодинокі відрізки. Дивіться на прикладі, як це буде виглядати.

приклад 10

визначення 4

- це пряма, яка зображується з певною точкою відліку, яка приймається за 0, одиничним відрізком і заданим напрямом руху.

Відповідність між точками координатної прямої і дійсними числами

Координатна пряма може містити безліч точок. Вони безпосередньо пов'язані з дійсними числами. Це можна визначити, як взаємно однозначна відповідність.

визначення 5

Кожній точці на координатної прямої відповідає єдине дійсне число, а кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій.

Для того, щоб краще зрозуміти правило, слід зазначити точку на координатній прямій і подивитися, яке натуральне число відповідає позначці. Якщо ця точка збігається з початком відліку, вона буде відзначена нулем. Якщо точка не збігається з початком відліку, ми відкладаємо потрібну кількість одиничних відрізків до тих пір, поки не досягнемо зазначеної відмітки. Число, записане під нею, і буде відповідати даній точці. На прикладі, зазначеному внизу, ми покажемо вам це правило наочно.

приклад 11

Якщо ми не можемо знайти точку, відкладаючи поодинокі відрізки, слід відзначати також точки, складові одну десяту, соту або тисячну частку одиничного відрізка. На прикладі можна детально розглянути дане правило.

Відклавши кілька подібних відрізків, ми зможемо отримати не тільки ціле, а й дробове число - як позитивне, так і негативне.

Зазначені відрізки допоможуть нам відшукати на координатної прямої необхідну точку. Це можуть бути як цілі, так і дробові числа. Однак на прямий існують точки, які дуже складно знайти за допомогою одиничних відрізків. Цим точкам відповідають десяткові дроби. Для того, щоб шукати подібну точку, доведеться відкладати одиничний інтервал, десяту, соту, тисячну, десятитисячний і інші його частки. Одній точці координатної прямої відповідає ірраціональне число π (\u003d 3, 141 592...).

Безліч дійсних чисел включається в себе все числа, які можна записати у вигляді дробу. Це дозволяє виявити правило.

визначення 6

Кожній точці координатної прямої відповідає конкретне дійсне число. Різні точки визначають різні дійсні числа.

Це відповідність однозначно -Кожному точці відповідає певний дійсне число. Але це працює також і в зворотному напрямку. Ми також можемо вказати певну точку на координатній прямій, яка буде ставитися конкретному дійсному числу. Якщо число не є цілим, то нам необхідно відзначити кілька одиничних відрізків, а також десятих, сотих часток в заданому напрямку. Наприклад, числу 400350 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 400 одиничних відрізків, 3 відрізка, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків - тисячну частку.

Так одиничний інтервал і його десята, сота і так далі частки дозволяють нам потрапити в точки координатної прямої, яким будуть відповідати кінцеві десяткові дроби (як в попередньому прикладі). Однак на координатної прямої існують точки, в які ми не можемо потрапити, але до яких ми можемо підійти як завгодно близько, використовую все менші й менші до нескінченно малої частки одиничного відрізка. Цим точкам відповідають нескінченні періодичні і неперіодичні десяткові дроби. Наведемо кілька прикладів. Однією з таких точок на координатній прямій відповідає число 3,711711711 ... \u003d 3, (711). Щоб підійти до цієї точки потрібно відкласти 3 одиничних відрізка, 7 його десятих часток, 1 соту частку, 1 тисячну, 7 десятитисячних доль, 1 стотисячну, 1 мільйонну частку одиничного відрізка і так далі. А ще одній точці координатної прямої відповідає пі (π \u003d 3,141592 ...).

Так як елементами безлічі дійсних чисел є все числа, які можна записати у вигляді кінцевих і нескінченних десяткових дробів, то вся а описана в цьому пункті інформація дозволяє стверджувати, що кожній точці координатної прямої ми поставили у відповідність конкретне дійсне число, при цьому зрозуміло, що різним точкам відповідають різні дійсні числа.

Також досить очевидно, що це відповідність є взаємно однозначним. Тобто, ми можемо зазначеній точці на координатної прямої поставити у відповідність дійсне число, але ми також можемо з даного дійсному числу вказати конкретну точку на координатній прямій, якій відповідає дана дійсне число. Для цього нам доведеться відкласти від початку відліку в потрібному напрямку певну кількість одиничних відрізків, а також десятих, сотих і так далі часткою одиничного відрізка. Наприклад, числу 703,405 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 703 одиничних відрізка, 4 відрізка, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків, що становлять тисячну частку одиничного.

Отже, кожній точці на координатної прямої відповідає дійсне число, і кожне дійсне число має своє місце в вигляді точки на координатній прямій. Ось чому координатну пряму дуже часто називають числової прямої.

Координати точок на координатній прямій

Число, відповідне точці на координатної прямої, називається координатою цієї точки.

У попередньому пункті ми сказали, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій, тому, координата точки однозначно визначає положення цієї точки на координатній прямій. Іншими словами, координата точки однозначно задає цю точку на координатній прямій. З іншого боку кожній точці на координатної прямої відповідає єдине дійсне число - координата цієї точки.

Залишилося сказати лише про прийнятих позначеннях. Координату точки записують у круглих дужках праворуч від букви, якою позначена точка. Наприклад, якщо точка М має координату -6, то можна записати М (-6), а запис виду означає, що точка М на координатної прямої має координату.

Список літератури.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.

На даному уроці ми познайомимося з поняттям координатної прямої, виведемо її основні характеристики і властивості. Сформулюємо і навчимося вирішувати основні завдання. Вирішимо кілька прикладів на поєднання цих завдань.

З курсу геометрії ми знаємо, що таке пряма, але що потрібно зробити з звичайної прямої, щоб вона стала координатної?

1) Вибрати точку початку відліку;

2) Вибрати напрямок;

3) Вибрати масштаб;

На малюнку 1 зображена звичайна пряма, а на малюнку 2 - координатна.

Координатної прямої називається така пряма l, на якій обрана початкова точка Про - початок відліку, масштаб - одиничний інтервал, тобто такий відрізок, довжина якого вважається дорівнює одиниці, і позитивний напрямок.

Координатну пряму також називають координатною віссю або віссю Х.

З'ясуємо, навіщо потрібна координатна пряма, для цього визначимо її основна властивість. Координатна пряма встановлює взаімооднозначном відповідність між безліччю всіх чисел і множиною всіх точок на цій прямій. Наведемо приклади:

Задані два числа: (знак «+», модуль дорівнює трьом) і (знак «-», модуль дорівнює трьом) .Ізобразім ці числа на координатної прямої:

Тут число називається координатою А, число - координатою В.

Кажуть також, що чином числа є точка С з координатою, а чином числа є точка D з координатою:

Отже, оскільки основна властивість координатної прямої - це встановлення взаємооднозначної відповідності між точками і числами, то виникає дві основні задачі: вказати точку по заданому числу, ми це вже зробили вище, і вказати число по заданій точці. Розглянемо приклад другого завдання:

Нехай дана точка М:

Щоб визначити по даній точці число потрібно в першу чергу визначити відстань від початків відліку до точки. В даному випадку відстань дорівнює двом. Тепер потрібно визначити знак числа, тобто в якому промені прямої лежить точка М. В даному випадку точка лежить праворуч від початку відліку, в позитивному промені, значить число матиме знак «+».

Візьмемо ще одну точку і по ній визначимо число:

Відстань від початку відліку до точки аналогічно до попереднього прикладу дорівнює двом, але в даному випадку точка лежить зліва від початку відліку, на негативному промені, значить точка N характеризує число

Всі типові завдання, пов'язані з координатної прямої, так чи інакше пов'язані з її основною властивістю і двома основними завданнями, які ми сформулювали і вирішили.

До типових завдань відносяться:

-вміти розставляти крапки і їх координати;

-розуміти порівняння чисел:

вираз означає, що точка С з координатою 4 лежить правіше точки М з координатою 2:

І навпаки, якщо нам задано розташування точок на координатній прямій, ми повинні розуміти, що їх координати пов'язані певним співвідношенням:

Нехай задані точки М (х М) і N (x N):

Ми бачимо, що точка М лежить правіше точки n, значить, їх координати співвідносяться як

-Визначення відстані між точками.

Ми знаємо, що відстань між точками Х і А одно модулю числа. нехай дано дві точки:

Тоді відстань між ними дорівнюватиме:

Ще одне дуже важливе завдання - це геометричний опис числових множин.

Розглянемо промінь, який лежить на координатної осі, не включає свій початок, але включає всі інші точки:

Отже, у нас задано безліч точок, розташованих на координатної осі. Наведемо безліч чисел, яке характеризується даними безліччю точок. Таких чисел і точок незліченна безліч, тому даний запис виглядає так:

Надамо пояснення: при другому варіанті записи якщо ставлять круглу дужку «(» означає крайнє число - в даному випадку число 3, не включається в безліч, якщо ж поставити квадратну дужку «[», то крайнє число включається в безліч.

Отже, ми записали аналітично числове безліч, яке характеризує заданий безліч точок. аналітична запис, як ми сказали, виконується або у вигляді нерівності, або у вигляді проміжку.

Задано безліч точок:

В даному випадку точка а \u003d 3 входить в безліч. Наведемо аналітично безліч чисел:

Звернемо увагу, що після або перед знаком нескінченності завжди ставлять круглу дужку, так як нескінченності ми ніколи не досягнемо, а близько числа може стояти як кругла дужка, так і квадратна, в залежності від умов поставленого завдання.

Розглянемо приклад оберненої задачі.

Дана координатна пряма. Зобразити на ній безліч точок, відповідних числовому безлічі і:

Координатна пряма встановлює взаімооднозначном відповідність між будь-якою точкою і числом, а значить і між числовими множинами та множинами точок. Ми розглянули промені, спрямовані як в позитивному, так і в негативному напрямку, що включають свою вершину і не включають її. Тепер розглянемо відрізки.

Приклад 10:

Задано безліч чисел. Зобразити відповідне безліч точок

Приклад 11:

Задано безліч чисел. Зобразити безліч точок:

Іноді щоб показати, що кінці відрізка не включаються до безліч, малюють стрілки:

Приклад 12:

Дано числове безліч. Побудувати його геометричну модель:

Знайти найменше число з проміжку:

Знайти найбільше число з проміжку, якщо воно існує:

Ми може відняти від восьми як завгодно мале число і сказати, що результат і буде найбільшим числом, але тут же знайдемо число ще менше, і результат віднімання збільшиться, так що знайти найбільше число в даному проміжку неможливо.

Звернемо увагу на той факт, що ні до одного числа на координатної прямої можна підібрати найближчим число, тому що завжди знайдеться число ще ближче.

Скільки натуральних чисел міститься в заданому проміжку?

З проміжку виділимо наступні натуральні числа: 4, 5, 6, 7 - чотири натуральних числа.

Нагадаємо, що натуральні числа - це числа, що застосовуються для рахунку.

Візьмемо іншу множину.

Приклад 13:

Задано безліч чисел

Побудувати його геометричну модель:

Тема уроку:

« Координати на прямій»

Мета уроку:

познайомити учнів з координатної прямої і негативними числами.

Завдання уроку:

Навчальна: ознайомити учнів з координатної прямої і негативними числами.

Розвиваюча: розвиток логічного мислення, розширення кругозору.

Виховна: розвиток пізнавального інтересу, виховання інформаційної культури.

План уроку:

Оргмомент. Перевірка учнів і їх готовності до уроку.

Актуалізація опорних знань. Усне опитування учнів з пройденої теми.

Пояснення нового матеріалу.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

5. Підбиття підсумків.Короткий зміст того, що було вивчено на уроці. Питання учнів.

6. Висновки. Узагальнення основних моментів уроку. Оцінювання знань. Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання. Самостійна робота учнів з вивченим матеріалом.

Устаткування: крейда, дошка, слайди.

Розгорнутий план-конспект

Назва етапу та його вміст

діяльність

діяльність

учнів

I етап

Оргмомент. Привітання.

Заповнення журналу.

вітається з класом, староста класу дає список відсутніх.

вітаються з

учителем

II етап

Актуалізація опорних знань.

Давньогрецький вчений Піфагор говорив: «Числа правлять світом». Ми з вами живемо в цьому світі чисел, а в шкільні роки вчимося працювати з різними числами.

1 Які числа нам уже відомі до сьогоднішнього уроку?

2 Які завдання допомагають нам вирішувати ці числа?

Сьогодні ми переходимо до вивчення другого розділу нашого підручника «Раціональні числа», де розширимо наші знання про числах, а вивчивши всю главу «Раціональні числа» навчимося виконувати з ними всі відомі вам дії і почнемо з теми координатна пряма.

1.натуральние, звичайні дроби, десяткові дроби

2.сложеніе, віднімання, множення розподіл, знаходження дробу від числа і числа за його дробом, вирішувати різні рівняння і завдання

III етап

Пояснення нового матеріалу.

Візьмемо пряму АВ і розіб'ємо її точкою О на два додаткових променя - ОА і ОВ. Виберемо на прямій одиничний інтервал і приймемо точку Про за початок відліку і напрямок.

визначення:

Пряму з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямком називають координатної прямої.

Число, що показує положення точки на прямій, називають координатою цієї точки.

Як побудувати координатну пряму?

провести пряму

задати одиничний інтервал

вказати напрямок

Координатна пряма може зображуватися по різному: горизонтально, вертикально і під будь-яким іншим кутом до горизонту, і має початок, але не має кінця.

Завдання 1. Які з перерахованих прямих не є координатними? (Слайд)

Давайте накреслив координатну пряму, відзначимо початок координат, одиничний інтервал і відкладемо вліво і вправо точки 1,2,3,4 і так далі.

Подивимося на отриману координатну пряму. Чим така пряма незручна?

Напрямок вправо від початку відліку називається позитивним, і напрямок на прямій позначають стрілкою. Числа, розташовані вправо від точки О, називаються позитивними. Ліворуч від точки Про розташовують негативні числа, і напрямок вліво від точки Про називається негативним (негативне напрямок не вказується). Якщо координатна пряма розташована вертикально згори від початку координат - позитивні числа, знизу від початку координат - негативні. Негативні числа пишуться зі знаком "-". Читають: "Мінус один", "Мінус два", "Мінус три" і т.д. Число 0 - початок відліку не є ні позитивним, ні негативним числом. Воно відокремлює позитивні від негативних чисел.

Рішення рівнянь і поняття «боргу» при торгових розрахунках призвело до появи негативних чисел.

Негативні числа з'явилися значно пізніше натуральних чисел і звичайних дробів. Перші відомості про негативні числах зустрічаються у китайських математиків у II ст. до н. е. Позитивні числа тоді тлумачилися як майно, а негативні - як борг, недостача. В Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й то довгий час негативні числа називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». У XVII столітті негативні числа одержали наочне геометричне уявлення на числової осі

Так само можна навести приклади координатної прямої: термометр, порівняння гірських вершин і западин (за нуль береться рівень моря), відстань на карті, шахта ліфта, будинки, підйомні крани.

подумайте, чи знаєте ви які-небудь ще приклади координатної прямої?

Завдання.

Заданіе2. Назвіть координати точок.

Заданіе3. Побудуйте точки на координатній прямій

Заданіе4 . Проведіть горизонтальну пряму і відзначте на ній точку O. Позначте на цій прямій точки A, B, C, K, якщо відомо, що:

A правіше O на 9 клітин;

B лівіше O на 6,5 клітин;

C правіше O на 3½ клітини;

K лівіше O на 3 клітини .

Записують в опорних конспектах.

Слухають, доповнюють.

Виконують завдання в зошиті а потім пояснюють вголос свої відповіді.

Креслять, відзначають початок координат одиничний інтервал

Така пряма незручна тим що 2УМ точкам на прямий відповідає одне і те ж число.

Історія до нашої ери і наша ера.

IV етап

Закріплення вивченого матеріалу.

1. Що таке координатна пряма?

2. Як побудувати координатну пряму?

1.Прямие з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямком називають координатної прямої

2) провести пряму

відзначити на ній початок відліку

задати одиничний інтервал

вказати напрямок

V етап

Підбиття підсумків

Що нового ми сьогодні дізналися?

Координатна пряма і негативні числа.

VI етап

Оцінювання знань. Виставлення оцінок.

Домашнє завдання.

Скласти питання по пройденій темі (знати на них відповіді)

дивіться безкоштовні відео-уроки на каналі Їжачку Зрозуміло.

Відео-уроки на каналі Їжачку Зрозуміло. Підпишись!

координатної прямої називають пряму лінію з вибраними на ній початком відліку (нуль), одиничним відрізком і напрямком. Кожному натуральному числу можна поставити у відповідність єдину точку на координатній прямій.

Для того, щоб порівняти два числа, розташованих на координатної прямої, необхідно звернути увагу на те, як вони розташовані один щодо одного.

Якщо число a розташоване лівіше числа b, то a< b

Якщо число a розташоване правіше числа b, то a\u003e b

У ОГЕ існує кілька типів завдань, пов'язаних з розташуванням чисел на координатній прямій. Для того, щоб почати вирішувати приклади, згадаємо ще деякі поняття.

Модуль числа

| a | \u003d (A, a\u003e 0 0, a \u003d 0 - a, a< 0

Модуль відбирає у чисел знаки.

якщо число позитивне

якщо число дорівнює нулю , То при взятті модуля нуля результат - нуль.

якщо число негативне , То при взятті модуля цього числа результат - позитивне число.

приклади:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Напевно у вас виникає питання, чому у формулі розкриття модуля | a | \u003d - a, якщо a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Для відповіді на це питання, давайте подумаємо, як у негативного числа відібрати знак мінус? Якщо негативне число помножити на - 1, то воно стане позитивним.

приклади:

| − 1 | = − (− 1) = 1