Рішення простих лінійних рівнянь. Рішення лінійних рівнянь з прикладами Як вирішувати лінійні рівняння з дужками

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються за одним і тим же алгоритмом - тому і вони і називаються найпростішими.

Для початку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому присутня лише одна змінна, причому виключно в першого ступеня.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести складові, що містять змінну, в одну сторону від знака рівності, а складові без змінної - в іншу;
3. Привести подібні доданки зліва і праворуч від знака рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $ x $.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає не завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $ x $ виявляється дорівнює нулю. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі не має рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $ 0 \\ cdot x \u003d 8 $, тобто зліва стоїть нуль, а праворуч - число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, за якими можлива така ситуація.
2. Рішення - все числа. Єдиний випадок, коли таке можливо - рівняння звелося до конструкції $ 0 \\ cdot x \u003d 0 $. Цілком логічно, що якою б $ x $ ми ні підставили, все одно вийде «нуль дорівнює нулю», тобто вірну числову рівність.

А тепер давайте подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язання рівнянь

Сьогодні ми займаємося лінійними рівняннями, причому тільки найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі будь-яке рівність, що містить в собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першого ступеня.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Перш за все необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як в нашому останньому прикладі);
2. Потім звести подібні
3. Нарешті, усамітнитися змінну, тобто все, що пов'язано зі змінною - складові, в яких вона міститься - перенести в одну сторону, а все, що залишиться без неї, перенести в іншу сторону.

Потім, як правило, потрібно привести подібні з кожного боку отриманого рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ІКСІ», і ми отримаємо остаточну відповідь.

У теорії це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть допускати образливі помилки в досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або при розкритті дужок, або при підрахунку «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що вирішенням цієї проблеми є вся числова пряма, тобто будь-яке число. Ці тонкощі ми і розберемо в сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, з найпростіших завдань.

Схема рішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте я ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюватися змінні, тобто все, що містить «ікси» переносимо в одну сторону, а без «іксів» - в іншу.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ІКСІ».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, в ній є певні тонкощі і хитрощі, і зараз ми з ними і познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

завдання №1

На першому кроці від нас вимагається розкрити дужки. Але їх в цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнитися змінні. Зверніть увагу: мова йде лише про окремі доданків. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки зліва і справа, але тут вже це зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\\ [\\ Frac (6x) (6) \u003d - \\ frac (72) (6) \\]

Ось ми і отримали відповідь.

завдання №2

У цьому завданні ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно одну і ту ж конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто усамітнюватися змінні:

Наведемо подібні:

За яких коренях це виконується. Відповідь: при будь-яких. Отже, можна записати, що $ x $ - будь-яке число.

завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\\ [\\ Left (6-x \\ right) + \\ left (12 + x \\ right) - \\ left (3-2x \\ right) \u003d 15 \\]

Тут є кілька дужок, однак вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий вже відомий нам крок:

\\ [- x + x + 2x \u003d 15-6-12 + 3 \\]

порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо всі на коефіцієнт при «ікс»:

\\ [\\ Frac (2x) (x) \u003d \\ frac (0) (2) \\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від занадто простих завдань, то я б хотів сказати наступне:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коренів просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль - нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його якось дискримінувати чи вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть «мінус», то ми його прибираємо, проте в дужках знаки змінюємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили в викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурні і прикрі помилки в старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Рішення складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складніше і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, що містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

приклад №1

Очевидно, що в першу чергу потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже акуратно:

Тепер займемося самотою:

\\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x \u003d -12 \\]

Наводимо подібні:

Очевидно, що у даного рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\\ [\\ Varnothing \\]

або коренів немає.

приклад №2

Виконуємо ті ж дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї - вправо:

Наводимо подібні:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\\ [\\ Varnothing \\],

або коренів немає.

нюанси рішення

Обидва рівняння повністю вирішені. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть в найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коренів може бути або один, або жодного, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я б хотів звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак «мінус». Розглянемо ось цей вислів:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на «ікс». Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданків - відповідно, два доданків і множиться.

І тільки після того, коли ці, здавалося б, елементарні, але дуже важливі і небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з точки зору того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак «мінус», а це означає, що все, що в низ, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній «мінус» теж зникає.

Точно також чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, здавалося б, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати ось такі найпростіші рівняння.

Зрозуміло, прийде день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться кожного разу виконувати стільки перетворень, ви все будете писати в одну строчку. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Рішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз будемо вирішувати, вже складно назвати простими завдання, проте сенс залишається тим же самим.

завдання №1

\\ [\\ Left (7x + 1 \\ right) \\ left (3x-1 \\ right) -21 ((x) ^ (2)) \u003d 3 \\]

Давайте перемножимо всі елементи в першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо подібні:

Виконуємо останній крок:

\\ [\\ Frac (-4x) (4) \u003d \\ frac (4) (- 4) \\]

Ось наш остаточну відповідь. І, незважаючи на те, що у нас в процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно будете знищені, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

завдання №2

\\ [\\ Left (1-4x \\ right) \\ left (1-3x \\ right) \u003d 6x \\ left (2x-1 \\ right) \\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент з першої дужки на кожен елемент з другої. Загалом має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без - вправо:

\\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x \u003d -1 \\]

Наводимо подібні доданки:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

нюанси рішення

Найважливіше зауваження з приводу цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за наступним правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другої; потім беремо другий елемент з першої і аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. В результаті у нас вийде чотири доданків.

Про алгебраїчної сумі

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке алгебраїчна сума. У класичній математиці під $ 1-7 $ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до числа «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим алгебраїчна сума відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання і множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з многочленами та рівняннями у вас просто не буде.

На закінчення давайте розглянемо ще кілька прикладів, які будуть ще більш складними, ніж ті, які ми тільки що розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Рішення рівнянь з дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнитися змінні.
3. Привести подібні.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли перед нами дробу. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і зліва, і справа в обох рівняннях є дріб.

Як працювати в цьому випадку? Так все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися від дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнитися змінні.
4. Привести подібні.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що значить «позбутися дробів»? І чому виконувати це можна як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді в нашому випадку все дробу є числовими по знаменника, тобто всюди в знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, то ми позбудемося дробів.

приклад №1

\\ [\\ Frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right)) (4) \u003d ((x) ^ (2)) - 1 \\]

Давайте позбудемося дробів в цьому рівнянні:

\\ [\\ Frac (\\ left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \\ cdot 4) (4) \u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot 4 \\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться все один раз, тобто якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на «чотири». запишемо:

\\ [\\ Left (2x + 1 \\ right) \\ left (2x-3 \\ right) \u003d \\ left (((x) ^ (2)) - 1 \\ right) \\ cdot 4 \\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо зведення подібних доданків:

\\ [- 4x \u003d -1 \\ left | : \\ Left (-4 \\ right) \\ right. \\]

\\ [\\ Frac (-4x) (- 4) \u003d \\ frac (-1) (- 4) \\]

Ми отримали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

приклад №2

\\ [\\ Frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right)) (5) + ((x) ^ (2)) \u003d 1 \\]

Тут виконуємо всі ті ж дії:

\\ [\\ Frac (\\ left (1-x \\ right) \\ left (1 + 5x \\ right) \\ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \\ cdot 5 \u003d 5 \\]

\\ [\\ Frac (4x) (4) \u003d \\ frac (4) (4) \\]

Завдання вирішена.

Ось, власне, і все, що я хотів сьогодні розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм вирішення лінійних рівнянь.
• Уміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функції, швидше за все, в процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, бувають трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння всієї математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходите на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, вас чекає ще багато цікавого!

Не всі рівняння, що містять дужки, вирішуються однаково. Звичайно, найчастіше в них потрібно розкрити дужки і привести подібні доданки (при цьому способи розкриття дужок відрізняються). Але іноді дужки розкривати не потрібно. Розглянемо всі ці випадки на конкретних прикладах:

1. 5х - (3х - 7) \u003d 9 + (-4х + 16).
2. 2х - 3 (х + 5) \u003d -12.
3. (Х + 1) (7х - 21) \u003d 0.

Рішення рівнянь через розкриття дужок

Даний метод розв'язання рівнянь зустрічається найбільш часто, але і він при всій своїй уявній універсальності, ділиться на підвиди залежно від способу розкриття дужок.

1) Рішення рівняння 5х - (3х - 7) \u003d 9 + (-4х + 16).

В даному рівнянні перед дужками стоять знаки мінус і плюс. Щоб розкрити дужки в першому випадку, де перед ними стоїть знак мінус, слід все знаки всередині дужок поміняти на протилежні. Перед другою парою дужок стоїть знак плюс, який на знаки в дужках никах не вплине, значить їх можна просто опустити. отримуємо:

5х - 3х + 7 \u003d 9 - 4х + 16.

Складові з х перенесемо в ліву частину рівняння, а інші в праву (знаки переносяться доданків будуть змінюватися на протилежні):

5х - 3х + 4х \u003d 9 + 16 - 7.

Наведемо подібні доданки:

Щоб знайти невідомий множник х, розділимо твір 18 на відомий множник 6:

х \u003d 18/6 \u003d 3.

2) Рішення рівняння 2х - 3 (х + 5) \u003d -12.

У цьому рівнянні також спочатку потрібно розкрити дужки, але застосувавши розподільна властивість: щоб -3 помножити на суму (х + 5) слід -3 помножити на кожний доданок в дужках і скласти отримані твори:

2х - 3х - 15 \u003d -12

х \u003d 3 / (-1) \u003d 3.

Рішення рівнянь без розкриття дужок

Третє рівняння (х + 1) (7х - 21) \u003d 0 теж можна вирішити розкривши дужки, але набагато простіше в таких випадках скористатися властивістю множення: добуток дорівнює нулю тоді, коли один з множників дорівнює нулю. значить:

х + 1 \u003d 0 або 7х - 21 \u003d 0.

Ви шукали як вирішувати рівняння з дужками? . Детальний рішення з описом і поясненнями допоможе вам розібратися навіть з найскладнішим завданням і як вирішувати рівняння в дужках, не виняток. Ми допоможемо вам підготуватися до домашніх робіт, контрольним, олімпіад, а так само до вступу до вузу. І якою б приклад, який би запит з математики ви не ввели - у нас вже є рішення. Наприклад, «як вирішувати рівняння з дужками».

Застосування різних математичних задач, калькуляторів, рівнянь і функцій широко поширене в нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд і навіть спорті. Математику людина використовувала ще в давнину і з тих пір їх застосування тільки зростає. Однак зараз наука не стоїть на місці і ми можемо насолоджуватися плодами її діяльності, такими, наприклад, як онлайн-калькулятор, який може вирішити завдання, такі, як як вирішувати рівняння з дужками, як вирішувати рівняння в дужках, як вирішити рівняння з дужками, рівняння з дужками як вирішувати, рівняння з дужками як вирішити. На цій сторінці ви знайдете калькулятор, який допоможе вирішити будь-яке питання, в тому числі і як вирішувати рівняння з дужками. (Наприклад, як вирішити рівняння з дужками).

Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а так само як вирішувати рівняння з дужками Онлайн?

Вирішити завдання як вирішувати рівняння з дужками ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завдання будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити - це просто ввести свої дані в вирішувача. Так само ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, то ви можете задати їх в чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння - не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається, як рівняння виду:

ax + b = 0 де а й b - будь-які числа.

2х + 7 \u003d 0. Тут а \u003d 2, b \u003d 7

0,1 х - 2,3 \u003d 0 Тут а \u003d 0,1, b \u003d -2,3

12х + 1/2 \u003d 0 Тут а \u003d 12, b \u003d 1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "Де а і b - будь-які числа"... А якщо зауважити, так необережно задуматися?) Адже, якщо а \u003d 0, b \u003d 0 (Будь-які ж числа можна?), То виходить забавне вираз:

Але і це ще не все! Якщо, скажімо, а \u003d 0, а b \u003d 5, виходить зовсім вже щось несусвітнє:

Що напружує і підриває довіру до математики, так ...) Особливо на іспитах. Але ж з цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І, що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння за зовнішнім виглядом? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , А й будь-які рівняння, які перетвореннями і спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно, чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна в деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є тільки невідомі в першого ступеня, і цифри. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А поділ на число, або дріб числова - це будь ласка! наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів в квадраті, в кубі і т.д., і немає іксів в знаменниках, тобто немає поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першого ступеня, але є поділ на вираз з іксом. Після спрощень і перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь замудрёном прикладі можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але в завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати. Це радує.)

Рішення лінійних рівнянь. Приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілих два!) Лежать в основі рішень всіх рівнянь математики. Іншими словами, рішення будь-якого рівняння починається з цих самих перетворень. У разі лінійних рівнянь, воно (рішення) на цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без усяких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити ось таке рівняння.

х - 3 \u003d 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першого ступеня, ділення на ікс немає. Але, власне, нам без різниці, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) - у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х в ліву частину, зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - в праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь. Здивовані? Значить, по посиланню не ходили, а даремно ...) Отримаємо:

х + 4х \u003d 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає для повного щастя? Так щоб зліва чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося від п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь. А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, зрозуміло. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, до чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо що-небудь солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами - вліво, без іксів - вправо? Можна і так. Маленькими кроками по довгій дорозі. А можна відразу, універсальним і потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Ставлю вам ключове питання: що вам більше за все не подобається в цьому рівнянні?

95 чоловік з 100 скажуть: дроби ! Відповідь правильний. Ось і давайте від них позбавимося. Тому починаємо відразу з другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Вірно, на 3. А справа? На 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на одне і те ж число. Як викрутимось? А помножимо обидві частини на 12! Тобто на спільний знаменник. Тоді і трійка скоротиться, і четвірка. Не забуваємо, що множити треба кожну частину цілком. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! чисельник (Х + 2) я взяв в дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо залишилися дужки:

Чи не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом - вліво, без ікси - вправо! І застосовуємо це перетворення:

Наводимо подібні:

І ділимо обидві частини на 25, тобто знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне заморочений рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожних перетворення - перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-ділення рівняння на одне і те ж число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Абсолютно будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення весь час занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип вирішення лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння і спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут в обчисленнях, а не в принципі рішення.

Але ... Зустрічаються в процесі вирішення найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і в сильний ступор увігнати ...) На щастя, таких сюрпризів може бути тільки два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки при вирішенні лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, попалося вам елементарно рівняння, що-небудь, типу:

2х + 3 \u003d 5х + 5 - 3х - 2

Нудячись, переносимо з іксом вліво, без ікси - вправо ... Зі зміною знака, все чин-чінарём ... Отримуємо:

2х-5х + 3х \u003d 5-2-3

Вважаємо, і ... От чорт !!! отримуємо:

Само по собі це рівність не викликає заперечень. Нуль дійсно дорівнює нулю. Але ікс-то пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс. Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як вирішувати рівняння? Що означає вирішити рівняння? Це означає, знайти всі значення ікси, які, при підстановці в вихідне рівняння, дадуть нам вірне рівність.

Але вірне рівність у нас вже вийшло! 0 \u003d 0, куди вже вірніше ?! Залишається зрозуміти, за яких іксах це виходить. Які значення ікси можна підставляти в вихідне рівняння, якщо ці ікси все одно посокращаются в повний нуль? Ну ж бо?)

Да !!! Ікси можна підставляти будь-які! Які хочете. Хоч 5, хоч 005, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Поподставляйте будь-які значення ікси в вихідне рівняння і порахуйте. Весь час буде виходити чиста правда: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7,1 \u003d -7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х - будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильний і повноцінний відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо той же елементарний лінійне рівняння і змінимо в ньому всього одне число. Ось таке будемо вирішувати:

2х + 1 \u003d 5х + 5 - 3х - 2

Після тих же самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, отримали дивне рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали невірне рівність. А говорячи простою мовою, неправда це. Маячня. Але тим, не менше, цю маячню - цілком вагома підстава для правильного вирішення рівняння.)

Знову міркуємо, виходячи із загальних правил. Які ікси, при підстановці в вихідне рівняння, дадуть нам вірне рівність? Так ніякі! Немає таких іксів. Чого ні підставляй, все посократітся, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це теж цілком повноцінну відповідь. У математиці такі відповіді найчастіше зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, пропажа іксів в процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайоме.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішити.

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок і приведення подібних членів приймає вид

aх + b \u003d 0, Де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Вчора розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, всі рівняння:

2х + 3 \u003d 7 - 0,5 х; 0,3х \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (х - 2) - лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння в правильну рівність називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 \u003d 13 замість невідомого х підставити число 2, то отримаємо вірне рівність 3 · 2 +7 \u003d 13. Значить, значення х \u003d 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х \u003d 3 не звертає рівняння 3х + 7 \u003d 13 в правильне рівність, так як 3 · 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х \u003d 3 не є рішенням або коренем рівняння.

Рішення будь-яких лінійних рівнянь зводиться до вирішення рівнянь виду

aх + b \u003d 0.

Перенесемо вільний член з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х \u003d - b / a .

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 \u003d 11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 на протилежний, отримаємо
3х \u003d 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х \u003d 9.

Щоб знайти х треба розділити твір на відомий множник, тобто
х \u003d 9: 3.

Значить, значення х \u003d 3 є рішенням або коренем рівняння.

Відповідь: х \u003d 3.

Якщо а \u003d 0 і b \u003d 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

Приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5 (х - 3) + 2 \u003d 3 (х - 4) + 2х - 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 \u003d 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо подібні члени:
0х \u003d 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а \u003d 0 і b ≠ 0, То отримаємо рівняння 0х \u003d - b. Це рівняння рішень не має, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0.

Приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 \u003d х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, що містять невідомі, а в правій - вільні члени:
х - х \u003d 5 - 8.

Наведемо подібні члени:
0х \u003d - 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображена схема рішення лінійного рівняння

Складемо загальну схему рішення рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

Приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше спільне кратне знаменників, рівне 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 \u003d 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, що містять невідомі і вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 \u003d 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, що містять невідомі, а в іншій - вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо подібні члени:
- 22х \u003d - 154.

6) Розділимо на - 22, Отримаємо
х \u003d 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени - в інший;

г) привести подібні члени;

д) вирішити рівняння виду ах \u003d b, яке отримали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не обов'язкова для будь-якого рівняння. При вирішенні багатьох простіших рівнянь доводиться починати не з першого, а з другого ( Приклад. 2), Третього ( Приклад. 1, 3) І навіть з п'ятого етапу, як в прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х \u003d 1/4.

Знаходимо невідоме х \u003d 1/4: 2,
х \u003d 1/8 .

Розглянемо рішення деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному іспиті.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) \u003d 5 - 6х.

2х + 6 \u003d 5 - 6х

2х + 6х \u003d 5 - 6

Відповідь: - 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння - 6 (5 - 3х) \u003d 8х - 7.

- 30 + 18х \u003d 8х - 7

18х - 8х \u003d - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) \u003d 4 · 7х + 24

9х - 12 \u003d 28х + 24

9х - 28х \u003d 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f (6), якщо f (x + 2) \u003d 3 7-х

Рішення

Так як треба знайти f (6), а нам відомо f (x + 2),
то х + 2 \u003d 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 \u003d 6,
отримуємо х \u003d 6 - 2, х \u003d 4.

Якщо х \u003d 4, тоді
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з рішенням рівнянь більш грунтовно,. Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить подивитися новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.