Визначення одночлена: супутні поняття, приклади. поняття одночлена

Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів

Одночлен. визначення

одночлен - це математичний вираз, який представляє собою твір простого множника і однієї або декількох змінних.

До одночленной відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42; 3; 0; 6 2, 2 3, b 3; ax 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3.

Досить часто буває важко визначити, чи відноситься дана математичний вираз до одночленной чи ні. Наприклад, $ \\ frac (4а ^ 3) (5) $. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти на це питання треба спростити вираз, тобто представити у вигляді: $ \\ frac (4) (5) * а ^ 3 $.
Ми можемо точно сказати, що цей вислів - одночлен.

Стандартний вид одночлена

При обчисленнях бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш коротка і зрозуміла запис одночлена.

Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) і отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковим літерним підставою і перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 для всіх змінних.

Приклади.
I. Привести заданий одночлен $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ 15х ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ 15х ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Привести заданий одночлен $ 5a ^ 2b ^ 3 * \\ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $ \\ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. Тепер наведемо подібні доданки $ \\ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.

У цьому уроці ми дамо суворе визначення одночлена, розглянемо різні приклади з підручника. Згадаймо правила множення ступенів з підставами. Дамо визначення стандартного вигляду одночлена, коефіцієнта одночлена і його буквеної частини. Розглянемо два основних типових дії над одночленной, а саме приведення до стандартного вигляду та обчислення конкретного чисельного значення одночлена при заданих значеннях вхідних в нього буквених змінних. Сформулюємо правило приведення одночлена до стандартного вигляду. Навчимося вирішувати типові завдання з будь-якими одночленной.

Тема:Одночлени. Арифметичні операції над одночленной

урок:Поняття одночлена. Стандартний вид одночлена

Розглянь деякі приклади:

3. ;

Знайдемо загальні риси для наведених виразів. У всіх трьох випадках вираз є твором чисел і змінних, зведених в ступінь. На підставі цього дамо визначення одночлена : Одночленной називають таке вираження алгебри, яке складається з твору ступенів і чисел.

Тепер наведемо приклади виразів, які не є одночленной:

Знайдемо відміну цих виразів від попередніх. Воно полягає в тому, що в прикладах 4-7 є операції додавання, віднімання або ділення, тоді як в прикладах 1-3, є одночленной, цих операцій немає.

Наведемо ще кілька прикладів:

Вираз під номером 8 є одночленной, так як цей твір ступеня на число, тоді як приклад 9 не є одночленной.

тепер з'ясуємо дії над одночленной .

1.Упрощеніе. Розглянемо приклад №3 ; І приклад №2 /

У другому прикладі ми бачимо тільки один коефіцієнт -, кожна змінна зустрічається тільки один раз, тобто змінна « а»Представлена \u200b\u200bв єдиному екземплярі, як« », аналогічно змінні« »і« »зустрічаються тільки один раз.

У прикладі №3 навпаки, є два різних коефіцієнта - і, змінну «» ми бачимо двічі - як «» і як «», аналогічно змінна «» зустрічається два рази. Тобто, цей вислів слід спростити, таким чином, приходимо до першої дії, що виконується над одночленной - приведення одночлена до стандартного вигляду . Для цього наведемо до стандартного вигляду вираз з прикладу 3, потім визначимо цю операцію і навчимося приводити до стандартного вигляду будь-одночлен.

Отже, розглянемо приклад:

Першою дією в операції приведення до стандартного вигляду завжди потрібно перемножити всі числові множники:

;

Результат цієї дії буде називатися коефіцієнтом одночлена .

Далі необхідно перемножити ступеня. Перемножимо ступеня змінної « х»Згідно з правилом множення ступенів з підставами, в якому говориться, що при множенні показники ступеня складаються:

тепер перемножимо ступеня « у»:

;

Отже, наведемо спрощене вираз:

;

Будь-одночлен можна привести до стандартного вигляду. сформулюємо правило приведення до стандартного вигляду :

Перемножити всі числові множники;

Поставити отриманий коефіцієнт на перше місце;

Перемножити всі ступені, тобто отримати буквенную частина;

Тобто, будь-який одночлен характеризується коефіцієнтом і буквеної частиною. Забігаючи наперед, відзначимо, що одночлени, що мають однакову буквену частину, називаються подібними.

Тепер потрібно напрацювати техніку приведення одночленним до стандартного вигляду . Розглянь приклади з підручника:

Завдання: привести одночлен до стандартного вигляду, назвати коефіцієнт і буквену частину.

Для виконання завдання скористаємося правилом приведення одночлена до стандартного вигляду та властивостями ступенів.

1. ;

3. ;

Коментарі до першого прикладу: Для початку визначимо, чи дійсно цей вислів є одночленной, для цього перевіримо, чи є в ньому операції множення чисел і ступенів і чи немає в ньому операцій додавання, віднімання або ділення. Можемо сказати, що цей вислів є одночленной, так як вищевказане умова виконується. Далі, згідно з правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, перемножимо чисельні множники:

- ми знайшли коефіцієнт заданого одночлена;

; ; ; тобто, отримана літерна частина виразу :;

запишемо відповідь:;

Коментарі до другого наприклад: За правилом виконуємо:

1) перемножити числові множники:

2) перемножити ступеня:

Змінні і представлені в єдиному екземплярі, тобто їх перемножити ні з чим не можна, вони переписуються без змін, ступінь перемножується:

запишемо відповідь:

;

В даному прикладі коефіцієнт одночлена дорівнює одиниці, а буквена частина.

Коментарі до третього наприклад: аналогічная попереднім прикладам виконуємо дії:

1) перемножити чисельні множники:

;

2) перемножити ступеня:

;

випишемо відповідь:;

В даному випадку коефіцієнт одночлена дорівнює «», а буквена частина .

тепер розглянемо другу стандартну операцію над одночленной . Оскільки одночлен це вираз, що складається з буквених змінних, які можуть приймати конкретні числові значення, то ми маємо арифметичне числове вираження, яке слід обчислити. Тобто, наступна операція над многочленами складається в обчисленні їх конкретного числового значення .

Розглянемо приклад. Заданий одночлен:

даний одночлен вже приведений до стандартного вигляду, його коефіцієнт дорівнює одиниці, а буквена частина

Раніше ми говорили, що алгебраїчне вираз не завжди можна обчислити, тобто змінні, які в нього входять, можуть приймати не будь-яке значення. У разі одночлена ж входять в нього змінні можуть бути будь-якими, це є особливістю одночлена.

Отже, в заданому прикладі потрібно обчислити значення одночлена при,,,.

одночлен - це вираз, що представляє собою твір двох або більше сомножителей, кожен з яких є числом, вираженим буквою, цифрами або ступенем (з цілим невід'ємним показником):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Так як твір однакових співмножників можна записати у вигляді ступеня, то окремо взята ступінь (з цілим невід'ємним показником) також є одночленной:

(-4) 3 , x 5 ,

Так як число (ціле або дробове), виражене буквою або цифрами, можна записати у вигляді добутку цього числа на одиницю, то будь-який окремо взятий число теж можна розглядати як одночлен:

x, 16, -a,

Стандартний вид одночлена

Стандартний вид одночлена - це одночлен, у якого тільки один числовий множник, який обов'язково повинен бути записаний на першому місці. Всі змінні стоять в алфавітному порядку і містяться в одночленной тільки один раз.

Числа, змінні і ступеня змінних також відносяться до одночленной стандартного виду:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - одночлени стандартного вигляду.

Числовий множник одночлена стандартного вигляду називається коефіцієнтом одночлена. Коефіцієнти одночлена рівні 1 і -1 зазвичай не пишуть.

Якщо в одночленной стандартного виду немає числового множника, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює 1:

x 3 \u003d 1 · x 3

Якщо в одночленной стандартного виду немає числового множника і перед ним стоїть знак мінус, то мається на увазі, що коефіцієнт одночлена дорівнює -1:

-x 3 \u003d -1 · x 3

Приведення одночлена до стандартного вигляду

Щоб привести одночлен до стандартного вигляду, треба:

1. Перемножити числові множники, якщо їх декілька. Звести числовий множник в ступінь, якщо у нього є показник. Поставити числовий множник на перше місце.
2. Перемножити всі однакові змінні, щоб кожна змінна зустрічалася в одночленной тільки один раз.
3. Розташувати змінні після числового множника в алфавітному порядку.

Приклад. Уявіть одночлен в стандартному вигляді:

а) 3 yx 2 · (-2) y 5 x; б) 6 bc · 0,5 ab 3

Рішення:

а) 3 yx 2 · (-2) y 5 x \u003d 3 · (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
б) 6 bc · 0,5 ab 3 \u003d 6 · 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

ступінь одночлена

ступінь одночлена - це сума показників ступенів всіх вхідних в нього букв.

Якщо одночлен є числом, тобто не містить змінних, то його ступінь вважається рівною нулю. наприклад:

5, -7, 21 - одночлени нульової ступеня.

Отже, щоб визначити ступінь одночлена, потрібно визначити показник ступеня кожної з вхідних в нього букв і скласти ці показники. Якщо показник літери не вказано, значить, він дорівнює одиниці.

приклади:

Так як у x показник ступеня не вказано, значить, він дорівнює 1. Інших змінних одночлен не містить, отже, його ступінь дорівнює 1.

Одночлен містить всього одну змінну в другому ступені, значить, ступінь даного одночлена дорівнює 2.

3) ab 3 c 2 d

показник a дорівнює 1, показник b - 3, показник c - 2, показник d - 1. Ступінь даного одночлена дорівнює сумі цих показників.

1. Цілий позитивний коефіцієнт. Нехай маємо одночлен + 5a, так як позитивне число +5 вважається збігається з арифметичним числом 5, то

5a \u003d a ∙ 5 \u003d a + a + a + a + a.

Також + 7xy² \u003d xy² ∙ 7 \u003d xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; + 3a³ \u003d a³ ∙ 3 \u003d a³ + a³ + a³; + 2abc \u003d abc ∙ 2 \u003d abc + abc і так далі.

На підставі цих прикладів ми можемо встановити, що цілий позитивний коефіцієнт показує, скільки раз буквений множник (або: твір буквених множників) одночлена повторюється складовою.

До цього слід звикнути до того, щоб в уяві відразу уявлялося, що, наприклад, в многочлене

3a + 4a² + 5a³

зводиться справу до того, що спочатку a² повторюється 3 рази складовою, потім a³ повторюється 4 рази складовою і потім a повторюється 5 раз складовою.

Також: 2a + 3b + c \u003d a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ \u003d x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ і т. п.

2. Позитивний дробовий коефіцієнт. Нехай маємо одночлен + a. Так як позитивне число + збігається з арифметичним числом, то + a \u003d a ∙, а це значить: треба взяти три четвертих частини від числа a, т. Е.

Тому: дробовий позитивний коефіцієнт показує, скільки разів і яка частина літерного множника одночлена повторюється складовою.

многочлен має без труднощів уявити собі у вигляді:

і тому подібне.

3. Негативний коефіцієнт. Знаючи множення відносних чисел, ми легко встановимо, що, наприклад, (+5) ∙ (-3) \u003d (-5) ∙ (+3) або (-5) ∙ (-3) \u003d (+5) ∙ (+ 3) або взагалі a ∙ (-3) \u003d (-a) ∙ (+3); також a ∙ (-) \u003d (-a) ∙ (+) і т. п.

Тому, якщо візьмемо одночлен з негативним коефіцієнтом, наприклад, -3a, то

-3a \u003d a ∙ (-3) \u003d (-a) ∙ (+3) \u003d (-a) ∙ 3 \u003d - a - a - a (-a взято доданком 3 рази).

З цих прикладів ми бачимо, що негативний коефіцієнт показує, скільки раз літерна частина одночлена, або його певна частка, взята зі знаком мінус, повторюється складовою.

ступінь одночлена

Для одночлена існує поняття його ступеня. Розберемося, що це таке.

Визначення.

ступінь одночлена стандартного виду - це сума показників ступенів всіх змінних, що входять в його запис; якщо в запису одночлена немає змінних, і він відмінний від нуля, то його ступінь вважається рівною нулю; число нуль вважається одночленной, ступінь якого не визначена.

Визначення ступеня одночлена дозволяє навести приклади. Ступінь одночлена a дорівнює одиниці, так як a це є a 1. Ступінь одночлена 5 є нуль, так як він відрізняється від нуля, і його запис не містить змінних. А твір 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 є одночленной восьмому ступені, так як сума показників ступенів всіх змінних a, x і y дорівнює 2 + 1 + 3 + 2 \u003d 8.

До речі, ступінь одночлена, записаного не в стандартному вигляді, дорівнює ступеня відповідного одночлена стандартного вигляду. Для ілюстрації сказаного обчислимо ступінь одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (-2) · x 5 · y. Цей одночлен в стандартному вигляді має вигляд -6 · x 8 · y 4, його ступінь дорівнює 8 + 4 \u003d 12. Таким чином, ступінь вихідного одночлена дорівнює 12.

коефіцієнт одночлена

Одночлен в стандартному вигляді, що має в своєму записі хоча б одну змінну, являє собою твір з єдиним числовим множником - числовим коефіцієнтом. Цей коефіцієнт називають коефіцієнтом одночлена. Оформимо наведені міркування у вигляді визначення.

Визначення.

коефіцієнт одночлена - це числовий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді.

Тепер можна навести приклади коефіцієнтів різних одночленним. Число 5 - це коефіцієнт одночлена 5 · a 3 по визначенню, аналогічно одночлен (-2,3) · x · y · z має коефіцієнт -2,3.

На окрему увагу заслуговують коефіцієнти одночленним, що дорівнюють 1 і -1. Справа тут в тому, що вони зазвичай не присутні в запису в явному вигляді. Вважають, що коефіцієнт одночленним стандартного виду, що не мають в своєму записі числового множника, дорівнює одиниці. Наприклад, одночлени a, x · z 3, a · t · x і т.п. мають коефіцієнт 1, так як a можна розглядати як 1 · a, x · z 3 - як 1 · x · z 3 і т.п.

Аналогічно, коефіцієнтом одночленним, записи яких в стандартному вигляді не мають числового множника і починаються зі знака мінус, вважають мінус одиницю. Наприклад, одночлени -x, -x 3 · y · z 3 і т.п. мають коефіцієнт -1, так як -x \u003d (- 1) · x, -x 3 · y · z 3 \u003d (- 1) · x 3 · y · z 3 і т.п.

До слова, поняття коефіцієнта одночлена часто відносять і до одночленной стандартного виду, що представляє собою числа без буквених множників. Коефіцієнтами таких одночленним-чисел вважають ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 7 вважають рівним 7.

Список літератури.

• алгебра: навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 240 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., Доп. - М .: Мнемозина, 2013. - 175 с .: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г. Математика (посібник для вступників до технікумів): Учеб. посібник.- М .; Вища. шк., 1984.-351 с., іл.