Дана стаття присвячена розбору таких понять, як координатний промінь та координатна пряма. Ми зупинимося на кожному понятті і докладно розглянемо приклади. Завдяки цій статті ви зможете освіжити свої знання або ознайомитися з темою без допомоги викладача.

Для того, щоб визначити поняття координатного променя, слід мати уявлення про те, що таке промінь.

визначення 1

Луч - це геометрична фігура, яка має початок відліку координатного променя і напрям руху. Пряму зазвичай зображують горизонтально, вказуючи напрямок направо.

На прикладі ми бачимо, що O є початком променя.

приклад 1

Координатний промінь зображується по тій же схемі, але істотно відрізняється. Ми ставимо крапку відліку і відміряє одиничний інтервал.

приклад 2

визначення 2

одиничний інтервал - це відстань від 0 до точки, обраної для вимірювання.

приклад 3

Від кінця одиничного відрізка потрібно відкласти кілька штрихів і зробити розмітку.

Завдяки маніпуляціям, які ми виконали з променем, він став координатним. Підпишіть штрихи натуральними числами в послідовності від 1 - наприклад, 2, 3, 4, 5 ...

приклад 4

визначення 3

- це шкала, яка може тривати до нескінченності.

Найчастіше його зображують променем з початком в точці O, і відкладають єдиний одиничний інтервал. Приклад вказано на малюнку.

приклад 5

Ми в будь-якому випадку зможемо продовжити шкалу до того числа, яке нам необхідно. Ви можете записувати числа як зручно - під променем або над ним.

приклад 6

Для відображень координат променя можуть використовуватися як заголовні, як і малі літери.

Принцип зображення координатної прямої практично не відрізняється від зображення променя. Все просто - прокреслите промінь і доповніть до прямої, надавши позитивний напрямок, яке вказується стрілкою.

приклад 7

Проведіть промінь в протилежну сторону, доповнивши його до прямої

приклад 8

Відкладіть поодинокі відрізки за прикладом, вказаною вище

З лівого боку запишіть натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5 ... з протилежним знаком. Зверніть увагу на приклад.

приклад 9

Ви можете відзначити тільки початок відліку і поодинокі відрізки. Дивіться на прикладі, як це буде виглядати.

приклад 10

визначення 4

- це пряма, яка зображується з певною точкою відліку, яка приймається за 0, одиничним відрізком і заданим напрямом руху.

Відповідність між точками координатної прямої і дійсними числами

Координатна пряма може містити безліч точок. Вони безпосередньо пов'язані з дійсними числами. Це можна визначити, як взаємно однозначна відповідність.

визначення 5

Кожній точці на координатної прямої відповідає єдине дійсне число, а кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій.

Для того, щоб краще зрозуміти правило, слід зазначити точку на координатній прямій і подивитися, яке натуральне число відповідає позначці. Якщо ця точка збігається з початком відліку, вона буде відзначена нулем. Якщо точка не збігається з початком відліку, ми відкладаємо потрібну кількість одиничних відрізків до тих пір, поки не досягнемо зазначеної відмітки. Число, записане під нею, і буде відповідати даній точці. На прикладі, зазначеному внизу, ми покажемо вам це правило наочно.

приклад 11

Якщо ми не можемо знайти точку, відкладаючи поодинокі відрізки, слід відзначати також точки, складові одну десяту, соту або тисячну частку одиничного відрізка. На прикладі можна детально розглянути дане правило.

Відклавши кілька подібних відрізків, ми зможемо отримати не тільки ціле, а й дробове число - як позитивне, так і негативне.

Зазначені відрізки допоможуть нам відшукати на координатної прямої необхідну точку. Це можуть бути як цілі, так і дробові числа. Однак на прямий існують точки, які дуже складно знайти за допомогою одиничних відрізків. Цим точкам відповідають десяткові дроби. Для того, щоб шукати подібну точку, доведеться відкладати одиничний інтервал, десяту, соту, тисячну, десятитисячний і інші його частки. Одній точці координатної прямої відповідає ірраціональне число π (\u003d 3, 141 592...).

Безліч дійсних чисел включається в себе все числа, які можна записати у вигляді дробу. Це дозволяє виявити правило.

визначення 6

Кожній точці координатної прямої відповідає конкретне дійсне число. Різні точки визначають різні дійсні числа.

Це відповідність однозначно -Кожному точці відповідає певний дійсне число. Але це працює також і в зворотному напрямку. Ми також можемо вказати певну точку на координатній прямій, яка буде ставитися конкретному дійсному числу. Якщо число не є цілим, то нам необхідно відзначити кілька одиничних відрізків, а також десятих, сотих часток в заданому напрямку. Наприклад, числу 400350 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 400 одиничних відрізків, 3 відрізка, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків - тисячну частку.

Тема уроку:

« Координати на прямій»

Мета уроку:

познайомити учнів з координатної прямої і негативними числами.

Завдання уроку:

Навчальна: ознайомити учнів з координатної прямої і негативними числами.

Розвиваюча: розвиток логічного мислення, розширення кругозору.

Виховна: розвиток пізнавального інтересу, виховання інформаційної культури.

План уроку:

Оргмомент. Перевірка учнів і їх готовності до уроку.

Актуалізація опорних знань. Усне опитування учнів з пройденої теми.

Пояснення нового матеріалу.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

5. Підбиття підсумків.Короткий зміст того, що було вивчено на уроці. Питання учнів.

6. Висновки. Узагальнення основних моментів уроку. Оцінювання знань. Виставлення оцінок.

7. Домашнє завдання. Самостійна робота учнів з вивченим матеріалом.

Устаткування: крейда, дошка, слайди.

Розгорнутий план-конспект

Назва етапу та його вміст

діяльність

діяльність

учнів

I етап

Оргмомент. Привітання.

Заповнення журналу.

вітається з класом, староста класу дає список відсутніх.

вітаються з

учителем

II етап

Актуалізація опорних знань.

Давньогрецький вчений Піфагор говорив: «Числа правлять світом». Ми з вами живемо в цьому світі чисел, а в шкільні роки вчимося працювати з різними числами.

1 Які числа нам уже відомі до сьогоднішнього уроку?

2 Які завдання допомагають нам вирішувати ці числа?

Сьогодні ми переходимо до вивчення другого розділу нашого підручника «Раціональні числа», де розширимо наші знання про числах, а вивчивши всю главу «Раціональні числа» навчимося виконувати з ними всі відомі вам дії і почнемо з теми координатна пряма.

1.натуральние, звичайні дроби, десяткові дроби

2.сложеніе, віднімання, множення розподіл, знаходження дробу від числа і числа за його дробом, вирішувати різні рівняння і завдання

III етап

Пояснення нового матеріалу.

Візьмемо пряму АВ і розіб'ємо її точкою О на два додаткових променя - ОА і ОВ. Виберемо на прямій одиничний інтервал і приймемо точку Про за початок відліку і напрямок.

визначення:

Пряму з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямком називають координатної прямої.

Число, що показує положення точки на прямій, називають координатою цієї точки.

Як побудувати координатну пряму?

провести пряму

задати одиничний інтервал

вказати напрямок

Координатна пряма може зображуватися по різному: горизонтально, вертикально і під будь-яким іншим кутом до горизонту, і має початок, але не має кінця.

Завдання 1. Які з перерахованих прямих не є координатними? (Слайд)

Давайте накреслив координатну пряму, відзначимо початок координат, одиничний інтервал і відкладемо вліво і вправо точки 1,2,3,4 і так далі.

Подивимося на отриману координатну пряму. Чим така пряма незручна?

Напрямок вправо від початку відліку називається позитивним, і напрямок на прямій позначають стрілкою. Числа, розташовані вправо від точки О, називаються позитивними. Ліворуч від точки Про розташовують негативні числа, і напрямок вліво від точки Про називається негативним (негативне напрямок не вказується). Якщо координатна пряма розташована вертикально згори від початку координат - позитивні числа, знизу від початку координат - негативні. Негативні числа пишуться зі знаком "-". Читають: "Мінус один", "Мінус два", "Мінус три" і т.д. Число 0 - початок відліку не є ні позитивним, ні негативним числом. Воно відокремлює позитивні від негативних чисел.

Рішення рівнянь і поняття «боргу» при торгових розрахунках призвело до появи негативних чисел.

Негативні числа з'явилися значно пізніше натуральних чисел і звичайних дробів. Перші відомості про негативні числах зустрічаються у китайських математиків у II ст. до н. е. Позитивні числа тоді тлумачилися як майно, а негативні - як борг, недостача. В Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й то довгий час негативні числа називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». У XVII столітті негативні числа одержали наочне геометричне уявлення на числової осі

Так само можна навести приклади координатної прямої: термометр, порівняння гірських вершин і западин (за нуль береться рівень моря), відстань на карті, шахта ліфта, будинки, підйомні крани.

подумайте, чи знаєте ви які-небудь ще приклади координатної прямої?

Завдання.

Заданіе2. Назвіть координати точок.

Заданіе3. Побудуйте точки на координатній прямій

Заданіе4 . Проведіть горизонтальну пряму і відзначте на ній точку O. Позначте на цій прямій точки A, B, C, K, якщо відомо, що:

A правіше O на 9 клітин;

B лівіше O на 6,5 клітин;

C правіше O на 3½ клітини;

K лівіше O на 3 клітини .

Записують в опорних конспектах.

Слухають, доповнюють.

Виконують завдання в зошиті а потім пояснюють вголос свої відповіді.

Креслять, відзначають початок координат одиничний інтервал

Така пряма незручна тим що 2УМ точкам на прямий відповідає одне і те ж число.

Історія до нашої ери і наша ера.

IV етап

Закріплення вивченого матеріалу.

1. Що таке координатна пряма?

2. Як побудувати координатну пряму?

1.Прямие з обраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і напрямком називають координатної прямої

2) провести пряму

відзначити на ній початок відліку

задати одиничний інтервал

вказати напрямок

V етап

Підбиття підсумків

Що нового ми сьогодні дізналися?

Координатна пряма і негативні числа.

VI етап

Оцінювання знань. Виставлення оцінок.

Домашнє завдання.

Скласти питання по пройденій темі (знати на них відповіді)

дивіться безкоштовні відео-уроки на каналі Їжачку Зрозуміло.

Відео-уроки на каналі Їжачку Зрозуміло. Підпишись!

координатної прямої називають пряму лінію з вибраними на ній початком відліку (нуль), одиничним відрізком і напрямком. Кожному натуральному числу можна поставити у відповідність єдину точку на координатній прямій.

Для того, щоб порівняти два числа, розташованих на координатної прямої, необхідно звернути увагу на те, як вони розташовані один щодо одного.

Якщо число a розташоване лівіше числа b, то a< b

Якщо число a розташоване правіше числа b, то a\u003e b

У ОГЕ існує кілька типів завдань, пов'язаних з розташуванням чисел на координатній прямій. Для того, щоб почати вирішувати приклади, згадаємо ще деякі поняття.

Модуль числа

| a | \u003d (A, a\u003e 0 0, a \u003d 0 - a, a< 0

Модуль відбирає у чисел знаки.

якщо число позитивне

якщо число дорівнює нулю , То при взятті модуля нуля результат - нуль.

якщо число негативне , То при взятті модуля цього числа результат - позитивне число.

приклади:

| − 1 | = 1 ; | − 5 | = 5 ; | 7 | = 7 ; | 0 | = 0 .

Напевно у вас виникає питання, чому у формулі розкриття модуля | a | \u003d - a, якщо a< 0 ? Ведь после взятия модуля отрицательные числа становятся положительными.

Для відповіді на це питання, давайте подумаємо, як у негативного числа відібрати знак мінус? Якщо негативне число помножити на - 1, то воно стане позитивним.

приклади:

| − 1 | = − (− 1) = 1

В кінці глави 1 ми говорили про те, що в курсі алгебри нам з вами треба вчитися описувати реальні ситуації словами (словесна модель), алгебраїчно (алгебраїчна або, як частіше говорять математики, аналітична модель), графічно (графічна або геометрична модель). Весь перший розділ підручника (Глави 1-5) був присвячений вивченню математичної мови, за допомогою якого описуються аналітичні моделі.

Починаючи з глави 6 ми будемо вивчати не тільки нові аналітичні, а й графічні (геометричні) моделі. Вони будуються за допомогою координатної прямої, координатної площини. Ці поняття вам трохи знайомі з курсу математики 5-6 класів.

Пряму /, на якій обрана початкова крапка О (початок відліку), масштаб (одиничний відрізок, Т. Е. Відрізок, довжина якого вважається рівною 1) і позитивний напрямок, називають координатної прямої, або координатної віссю (рис. 7); вживають також термін «вісь х".

Кожному числу відповідає єдина точка прямої. Наприклад, числу 3,5 відповідає точка М (рис. 8), яка віддалена від початку відліку, т. Е. Від точки О, на відстань, рівну 3,5 (в заданому масштабі), і відкладена від точки О в заданому ( позитивному) напрямку. Числа -4 відповідає точка Р (см. Рис. 8), яка віддалена від точки О на відстань, рівну 4, і відкладена від точки О в негативному напрямку, т. Е. В напрямку, протилежному заданому.

Вірно і зворотне: кожна точка координатної прямої відповідає єдиному числа.

Наприклад, точка К, віддалена від точки О на відстань 5,4 в позитивному (заданому) напрямі, відповідає числу 5,4, а точка N, віддалена від точки О на відстань 2,1 в негативному напрямку, відповідає числу - 2,1 (див. рис. 8).

Зазначені числа називають координатами відповідних точок. Так, на рис. 8 точка К має координату 5,4; точка Р - координату -4; точка М - координату 3,5; точка N - координату -2,1; точка Про - координату 0 (нуль). Звідси і походить назва - «координатна пряма». Образно висловлюючись, координатна пряма - це густо заселений будинок, мешканці цього будинку - точки, а координати точок - це номери квартир, в яких живуть точки- мешканці.

Навіщо потрібна координатна пряма? Навіщо характеризувати точку числом, а число - точкою? Чи є в цьому якась користь? Так є.
Нехай, наприклад, на координатної прямої дано дві точки: А - з координатою про і В - з координатою Ь (зазвичай в таких випадках пишуть коротше:
А (а), В (Ь)). Нехай нам треба знайти відстань d між точками А і В. Виявляється, замість того щоб робити геометричні вимірювання, Досить скористатися готовою формулою d \u003d (а - b) (ви вивчали її в 6 класі).
Так, на малюнку 8 маємо:

Прагнучи до лаконічності міркувань, математики домовилися замість довгої фрази «точка А координатної прямої, що має координату а», використовувати коротку фразу: «точка а», і, відповідно, на кресленні розглянуту точку позначати її координатою. Так, на малюнку 9 зображена координатна пряма, на якій відзначені точки - 4; - 2,1; 0; 1; 3,5; 5,4.

Координатна пряма дає нам можливість вільно переходити з алгебраїчного мови на геометричний і назад. Нехай, наприклад, число а менше числа Ь. На алгебраическом мовою це записується так: а< b; на геометрическом языке это означает, что точка а расположена на координатной прямой левее точки b.
Втім, і алгебраїчний, і геометричний мови - це різновиди одного і того ж математичного мови, який ми з вами вивчаємо.

Познайомимося ще з кількома елементами математичної мови, які пов'язані з координатної прямої.

1. Нехай на координатній прямій відзначена точка а. Розглянемо всі крапки, які лежать на прямій правіше точки а, і відзначимо відповідну частину координатної прямої штрихуванням (рис. 10). Це безліч точок (чисел) називають відкритим променем і позначають (a, + oo), де знак + оо читається: «плюс нескінченність»; воно характеризується нерівністю х\u003e а (під ДГ розуміється будь-яка точка променя).

Зверніть увагу: точка а відкритого променю не належить, а eсли ж цю точку треба приєднати до відкритого променю, то пишуть х\u003e a або і, відповідно, на кресленні точку b зафарбовувати (рис. 13);

для (- оо, b) також будемо вживати термін промінь.

3. Нехай на координатній прямій відзначені точки а і b, причому а< b (т. е. точка а расположена на прямой левее точки b). Рассмотрим все точки, которые лежат правее точки а, но левее точки b отметим соответствующую часть координатной прямой штриховкой (рис. 14).

Це безліч (чисел) називають інтервалом і позначають (а, b).

Воно характеризується суворим подвійним нерівністю a< х < b (под х понимается любая точка интервала).

Зверніть увагу: інтервал (а, b) є перетин (загальна частина) двох відкритих променів (-оо, b) і (а, + оо) - це добре видно на малюнку 15.

Якщо до інтервалу (а, b) додати його кінці, т. Е. Точки a і b, то вийде відрізок [а, b] (рис. 16),

який характеризується нестрогим подвійним нерівністю а< х < b. Обратите внимание: в обозначении отрезка используют не круглые скобки, как это было в обозначении интервала, а квадратные; на чертеже точки а и b отмечены темными кружками, а не светлыми, как это было в случае интервала.

Відрізок [а, b] є перетин (загальна частина) двох променів (-оо, b] і і який характеризується за допомогою подвійних нерівностей: a< х < b - в первом случае, a < х < b - во втором случае.

Отже, ми ввели п'ять нових термінів математичної мови: промінь, відкритий промінь, інтервал, відрізок, напівінтервал. Є й загальний термін: числові проміжки.

Сама координатна пряма також вважається числовим проміжком; для неї використовують позначення (-оо, + оо).

Математика за 7 клас безкоштовно скачати, плани конспектів уроків, готуємось до школи онлайн

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

зміст уроку конспект уроку опорний каркас презентація уроку акселеративного методи інтерактивні технології Практика завдання і вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання дискусійні питання риторичні питання від учнів ілюстрації аудіо-, відео- та мультимедіа фотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати додатки реферати статті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні і додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроків виправлення помилок в підручнику оновлення фрагмента в підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення інтегровані уроки

Так одиничний інтервал і його десята, сота і так далі частки дозволяють нам потрапити в точки координатної прямої, яким будуть відповідати кінцеві десяткові дроби (як в попередньому прикладі). Однак на координатної прямої існують точки, в які ми не можемо потрапити, але до яких ми можемо підійти як завгодно близько, використовую все менші й менші до нескінченно малої частки одиничного відрізка. Цим точкам відповідають нескінченні періодичні і неперіодичні десяткові дроби. Наведемо кілька прикладів. Однією з таких точок на координатній прямій відповідає число 3,711711711 ... \u003d 3, (711). Щоб підійти до цієї точки потрібно відкласти 3 одиничних відрізка, 7 його десятих часток, 1 соту частку, 1 тисячну, 7 десятитисячних доль, 1 стотисячну, 1 мільйонну частку одиничного відрізка і так далі. А ще одній точці координатної прямої відповідає пі (π \u003d 3,141592 ...).

Так як елементами безлічі дійсних чисел є все числа, які можна записати у вигляді кінцевих і нескінченних десяткових дробів, то вся а описана в цьому пункті інформація дозволяє стверджувати, що кожній точці координатної прямої ми поставили у відповідність конкретне дійсне число, при цьому зрозуміло, що різним точкам відповідають різні дійсні числа.

Також досить очевидно, що це відповідність є взаємно однозначним. Тобто, ми можемо зазначеній точці на координатної прямої поставити у відповідність дійсне число, але ми також можемо з даного дійсному числу вказати конкретну точку на координатній прямій, якій відповідає дана дійсне число. Для цього нам доведеться відкласти від початку відліку в потрібному напрямку певну кількість одиничних відрізків, а також десятих, сотих і так далі часткою одиничного відрізка. Наприклад, числу 703,405 відповідає точка на координатній прямій, в яку з початку відліку можна потрапити, відклавши в позитивному напрямку 703 одиничних відрізка, 4 відрізка, що становлять десяту частку одиничного, і 5 відрізків, що становлять тисячну частку одиничного.

Отже, кожній точці на координатної прямої відповідає дійсне число, і кожне дійсне число має своє місце в вигляді точки на координатній прямій. Ось чому координатну пряму дуже часто називають числової прямої.

Координати точок на координатній прямій

Число, відповідне точці на координатної прямої, називається координатою цієї точки.

У попередньому пункті ми сказали, що кожному дійсному числу відповідає єдина точка на координатній прямій, тому, координата точки однозначно визначає положення цієї точки на координатній прямій. Іншими словами, координата точки однозначно задає цю точку на координатній прямій. З іншого боку кожній точці на координатної прямої відповідає єдине дійсне число - координата цієї точки.

Залишилося сказати лише про прийнятих позначеннях. Координату точки записують у круглих дужках праворуч від букви, якою позначена точка. Наприклад, якщо точка М має координату -6, то можна записати М (-6), а запис виду означає, що точка М на координатної прямої має координату.

Список літератури.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика: підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Виленкин Н.Я. та ін. Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх установ.
• Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.