Робота з переміщення заряду формули. Робота з переміщення заряду в електричному полі (висновок)

Електричним полем є векторна діаграма поля, що виникає біля електрично заряджених тіл та частинок при зміні електромагнітного поля. Таке явище, як роботу електростатичного поля під час переміщення у провіднику заряду, неможливо побачити. Його можна простежити за впливом на заряджені тіла. Тобто щоб воно з'явилося, необхідно докласти до них електричний заряд. Головними параметрами електрично зарядженого поля є напруга, потенціал та напруженість.

Фізичне пояснення потенціалу

Простою мовою потенціал – це дія з переведення будь-якого тіла з початкового місця в кінцевий пункт розміщення. В електричному полі - це енергія, що рухає електрон, в результаті він переміщається з точки нульового потенціалу в іншу точку, що має потенціал, що не дорівнює нулю.

Чим вищий потенціал, витрачений на пересування заряду, тим більша щільність потоку на одиниці площі. Це можна порівнювати із законом гравітації: що більше вага, то вища енергія, отже, значна щільність гравітаційного поля.

У природі існують заряди з незначним потенціалом та з низьким ступенем щільності, а також заряджені частинки з високим потенціалом та насиченою щільністю потоку. Таке явище, як робота з переміщення заряду, спостерігається при грозі, коли в одному місці відбувається виснаження на електрони, а в іншому – їх насичення, що утворює таке електрично заряджене поле, коли відбувається розряд у вигляді блискавки.

Утворення електричного поля та його особливості

Електричне поле утворюється у таких випадках:

• при змінах електромагнітному полі (наприклад, при електромагнітних коливаннях);
• з появою заряджених частинок.

Електрично насичене поле виявляє на заряджені частинки певний енергетичний вплив. Але ця сила не здатна прискорювати заряджені тіла у просторі. Крім цього, на них діє енергія магнітного поля.

Робота електростатичного поля легко спостерігається у побутовій обстановці. Для цього достатньо взяти якийсь діелектричний матеріал і потерти ним об шерсть. Наприклад, взяти пластмасову ручку та потерти об волосся. Результатом такої дії буде утворення електричного поля навколо ручки та поява заряду.

З цього можна дійти невтішного висновку, що електрично насичене полі – це характерний стан матерії. Його основна функція – це силова дія на заряджену частинку. Крім цього воно має такі властивості:

• набирає сили при посиленні заряду;
• впливає на заряджені частинки з певною силою та не має меж;
• виявляється у процесі на заряджену частина матерії.

Якщо заряди не рухливі, таке електрично заряджене поле називається електростатичним. Його головна властивість - це не заряджений стан, що змінюється в часі, так як поле утворюється за рахунок заряджених тіл (приклад з ручкою і волоссям).

Концепція однорідного електричного поля

Однорідне електрично заряджене поле створюється між двома плоскими пластинами, що мають різноіменний заряд. Вони лінії напруженості мають паралельну структуру.

Завдяки симетричній властивості, електричне поле має однакову силову дію на заряджені частинки. Роботу такого електричного поля можна виміряти без будь-яких залежностей.

Енергія по переміщенню позитивно зарядженої частки

Електрично насиченим полем можна назвати лавину заряджених частинок від плюс до мінуса. Таке переміщення створює високий рівень напруженості у сфері потоку. Потоком називається сукупність характеристик руху електронів, які усередині електричного поля. Заряджені частинки завжди рухаються від позитивно зарядженого полюса до негативного зарядженого полюса.

Інтенсивність впливу поля на заряд у будь-якій області визначається силою, що діє на заряджену частинку, поміщену в цю область електрично зарядженого поля. Сама робота полягає у витраченій енергії для переміщення заряду у структурі провідника. Цю дію можна знайти за допомогою закону Ома.

При переміщенні заряду в електричному полі він у різних областях:

• залишається незмінним;
• зменшується;
• збільшується.

Енергія електрично насиченого поля та потенціал частинки, що має певний заряд, має пропорційність до рівня самого заряду. Відношення потенціалу зарядженої частинки до її заряду називають потенціалом електрично зарядженого поля у вибраній області.

На частинку, що має заряд, електрично насиченому полі впливає сила цього електрично зарядженого поля. Ця сила створює енергію для пересування зарядженої частки у самому полі. Великий заряд має великий потенціал.

Відео

§ 12.3 Робота сил електростатичного поля. Потенціал. Еквіпотенційні поверхні

На заряд q пр поміщений у довільну точку електростатичного поля з напруженістю Е діє сила F= q пр E. Якщо заряд не закріплений, то сила змусить його переміщатися і, отже, буде здійснюватися робота. Елементарна робота, що здійснюється силою F при переміщенні точкового електричного заряду q пр з точки а електричного поля в точку b на відрізку шляху dℓ, за визначенням, дорівнює

(α - кут між F та напрямком руху) (рис.12.13).

Якщо робота здійснюється зовнішніми силами, то dA< 0 , если силами поля, то dA >0. Інтегруючи останній вираз, отримаємо, що робота проти сил поля при переміщенні q пр з точки aв точку b

(12.20)

Малюнок -12.13

(
- Кулонівська сила, що діє на пробний заряд пр у кожній точці поля з напруженістю E).

Тоді робота

(12.21)

Переміщення відбувається перпендикулярно вектору. , отжеcosα =1, робота перенесення пробного заряду q пр від aдо bдорівнює

(12.22)

Робота сил електричного поля при переміщенні заряду не залежить від форми шляху, а залежить лише від взаємного розташування початкової та кінцевої точок траєкторії.

Отже, електростатичного поля точкового заряду єпотенційним , а електростатичні сили –консервативними .

Це властивість потенційних полів. З нього випливає, що робота, що здійснюється в електричному полі по замкнутому контуру, дорівнює нулю:

(12.23)

Інтеграл
називається циркуляцією вектора напруженості . Зі звернення в нуль циркуляції вектора Е випливає, що лінії напруженості електростатичного поля не можуть бути замкнутими, вони починаються на позитивних і закінчуються на негативних зарядах.

Як відомо, робота консервативних сил відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії. Тому роботу сил електростатичного поля можна представити як різницю потенційних енергій, якими володіє точковий заряд q пр у початковій і кінцевій точках поля заряду q:

(12.24)

звідки слідує, що потенційна енергія заряду q пр у полі заряду q дорівнює

(12.25)

Для однойменних зарядів q пр q >0 і потенційна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) позитивна для різноїменних зарядів q пр q< 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Якщо поле створюється системою n точкових зарядів q1, q2, …. q n , то потенційна енергія U заряду пр, що знаходиться в цьому полі, дорівнює сумі його потенційних енергій U i , створюваних кожним із зарядів окремо:

(12.26)

Ставлення не залежать від заряду і є енергетичною характеристикою електростатичного поля.

Скалярна фізична величина, що вимірюється ставленням потенційної енергії пробного заряду в електростатичному полі до величини цього заряду, називаєтьсяпотенціалом електростатичного поля

(12.27)

Потенціал поля, створюваний точковим зарядом q, дорівнює

(12.28)

Одиниця потенціалу – вольт.

Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду q пр з точки 1 в точку 2 може бути представлена ​​як

тобто. дорівнює добутку заряду, що переміщується, на різницю потенціалів у початковій і кінцевій точках.

Різниця потенціалів двох точок електростатичного поля 1 - 2 дорівнює напрузі. Тоді

Відношення роботи, що здійснюється електростатичним полем при переміщенні пробного заряду з однієї точки поля в іншу, до величини цього заряду називаєтьсянапругою між цими точками.

(12.30)

Графічно електричне поле можна зображувати не лише за допомогою ліній напруженості, а й за допомогою еквіпотенційних поверхонь.

Еквіпотенційні поверхні - Сукупність точок, що мають однаковий потенціал.З малюнка видно, що лінії напруженості (радіальні промені) перпендикулярні до еквіпотенційних ліній.

Е квіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду і кожної системи зарядів можна провести безліч (рис.12.14). Однак їх проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша. Знаючи розташування еквіпотенційних ліній (поверхень), можна побудувати лінії напруженості або за відомим розташуванням ліній напруженості можна побудувати еквіпотенційні поверхні.

§ 12.4Зв'язок напруженості та потенціалу

Електростатичне поле має дві характеристики: силову (напруженість) та енергетичну (потенціал). Напруженість і потенціал – різні характеристики однієї і тієї ж точки поля, отже, між ними має бути зв'язок.

Робота з переміщення одиничного точкового позитивного заряду з однієї точки в іншу вздовж осі х за умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного і х 1 - х 2 = dx дорівнює qЕ х dx. Така сама робота дорівнює q(φ 1 - φ 2)= -dφq. Прирівнюючи обидва вирази, можемо записати

Повторивши аналогічні міркування для осей у і z, можемо знайти вектор :

де
- Поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта випливає, що

або
(12.31)

тобто. Напруженість поля Е дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженостіЕ поля спрямований у бік зменшення потенціалу.

Встановлений зв'язок між напруженістю та потенціалом дозволяє за відомою напруженістю поля знайти різницю потенціалів між двома довільними точками цього поля.

Поле рівномірно зарядженої сфери радіусомR

Напруженість поля поза сферою визначається за формулою

(R>R)

Різницю потенціалів між точками r 1 і r 2 (r 1 >R; r 2 >R) визначимо, використовуючи співвідношення

Потенціал сфери отримаємо, якщо r 1 = R, r 2 → ∞:

Поле рівномірно зарядженого нескінченно довгого циліндра

Напруженість поля поза циліндром (r>R) визначається формулою

(τ – лінійна щільність).

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 1 і r 2 (r 1 >R; r 2 >R) від осі циліндра, дорівнює

(12.32)

Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини

Напруженість поля цієї площини визначається формулою

(σ – поверхнева щільність).

Різниця потенціалів між точками, що лежать на відстані х 1 і х 2 від площини, дорівнює

(12.33)

Поле двох різноіменно заряджених нескінченних паралельних площин

Напруженість поля цих площин визначається формулою

Різниця потенціалів між площинами дорівнює

(12.34)

(d – відстань між площинами).

Приклади розв'язання задач

Приклад 12.1 . Три точкові заряди Q 1 =2нКл, Q 2 =3нКл і Q 3 =-4нКл розташовані у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною довжиною a= 10см. Визначте потенційну енергію цієї системи.

Дано : Q 1 = 2нКл = 2∙10 -9 Кл; Q 2 = 3нКл = 3∙10 -9 Кл; та Q 3 =-4нКл=4∙10 -9 Кл; a= 10см = 0,1м.

Знайти : U.

Р рішення: Потенційна енергія системи зарядів дорівнює сумі алгебри енергій взаємодії кожної з взаємодіючих пар зарядів, тобто.

U=U 12 +U 13 +U 23

де відповідно потенційні енергії одного із зарядів, що знаходиться в полі іншого заряду на відстані авід нього, рівні

;
;
(2)

Підставимо формули (2) у вираз (1), знайдемо шукану потенційну енергію системи зарядів

Відповідь: U = -0,126 мкДж.

Приклад 12.2 . Визначте потенціал у центрі кільця із внутрішнім радіусом R 1 =30см і зовнішнім R 2 =60см, якщо на ньому рівномірно розподілено заряд q=5нКл.

Дано: R 1 =30см=0,3м; R 2 = 60см = 0,6м; q=5нКл=5∙10 -9 Кл

Знайти : φ .

Рішення: Кільце розіб'ємо на концентричні нескінченно тонкі кільця внутрішнім радіусом r і зовнішнім – (r+dr).

Площа аналізованого тонкого кільця (див. рисунок) dS = 2πrdr.

П отенціал у центрі кільця, створюваний нескінченно тонким кільцем,

де - Поверхнева щільність заряду.

Для визначення потенціалу в центрі кільця слід арифметично скласти d від усіх нескінченно тонких кілець. Тоді

Враховуючи, що заряд кільця Q=σS, де S= π(R 2 2 -R 1 2)- площа кільця, отримаємо потенціал в центрі кільця

Відповідь : φ=25В

Приклад 12.3. Два точкові однойменні заряди (q 1 =2нКл таq 2 =5нКл) знаходяться у вакуумі на відстаніr 1 = 20див. Визначте роботу А, яку треба зробити, щоб зблизити їх до відстаніr 2 = 5см.

Дано: q 1 = 2нКл = 2∙10 -9 Кл; q 2 = 5нКл = 5∙10 -9 Кл ; r 1 = 20см = 0,2 м;r 2 = 5см = 0,05м.

Знайти : А.

Рішення: Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду Q з точки поля, що має потенціал 1, в точку з потенціалом 2.

A 12 = q(φ 1 - φ 2)

При зближенні однойменних зарядів роботу здійснюють зовнішні сили, тому робота цих сил дорівнює модулю, але протилежна за знаком роботи кулонівських сил:

A = -q (φ1 - φ2) = q (φ2 - φ1). (1)

Потенціали точок 1 та 2 електростатичного поля

;
(2)

Підставивши формули (2) у вираз (1), знайдемо роботу, яку треба зробити, щоб зблизити заряди,

Відповідь: А = 1,35 мкДж.

Приклад 12.4. Електростатичне поле створюється позитивно зарядженою нескінченною ниткою. Протон рухаючись під дією електростатичного поля вздовж лінії напруженості від нитки з відстаніr 1 =2см доr 2 =10см, змінив свою швидкість відυ 1 =1Мм/с доυ 2 =5мм/с. Визначте лінійну щільність заряду нитки.

Дано: q=1,6∙10 -19 Кл; m=1,67∙10 -27 кг; r 1 = 2см = 2∙10 -2 м; r 2 = 10см = 0,1 м; r 2 = 5см = 0,05м; υ 1 =1Мм/с=1∙10 6 м/с; до ? 2 = 5Мм/с = 5∙10 6 м/с.

Знайти : τ .

Рішення: Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні протона з точки поля з потенціалом 1 у точку з потенціалом 2 йде на збільшення кінетичної енергії протона

q(φ 1 - φ 2)=ΔТ (1)

У разі нитки електростатичне поле має осьову симетрію, тому

або dφ=-Edr,

тоді різниця потенціалів між двома точками, що знаходяться на відстані r 1 і r 2 від нитки,

(врахували, що напруженість поля, створюваного рівномірно зарядженої нескінченною ниткою,
).

Підставивши вираз (2) у формулу (1) та враховуючи, що
, отримаємо

Звідки шукана лінійна щільність заряду нитки

Відповідь : τ = 4,33 мкКл/м.

Приклад 12.5. Електростатичне поле створюється у вакуумі куля радіусом.R=8см, рівномірно зарядженими з об'ємною щільністю ρ=10нКл/м 3 . Визначте різницю потенціалів між двома точками цього поля, що лежать від центру кулі на відстанях: 1)r 1 =10см іr 2 = 15см; 2)r 3 = 2см іr 4 = 5см.

Дано: R=8см=8∙10 -2 м; ρ=10нКл/м 3 =10∙10 -9 нКл/м 3; r 1 =10см=10∙10 -2 м;

r 2 =15см=15∙10 -2 м; r 3 = 2см = 2∙10 -2 м; r 4 = 5см = 5∙10 -2 м.

Знайти : 1) φ 1 - φ 2 ; 2) φ 3 - φ 4 .

Рішення: 1) Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 1 і r 2 від центру кулі.

(1)

де
- Напруженість поля, створюваного рівномірно зарядженим з об'ємною щільністю ρ кулею, у будь-якій точці, що лежить поза кулею на відстані r від його центру.

Підставивши цей вираз у формулу (1) і проінтегрувавши, отримаємо різницю потенціалів, що шукають.

2) Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 3 і r 4 від центру кулі,

(2)

де
- Напруженість поля, створюваного рівномірно зарядженим з об'ємною щільністю ρ кулею, у будь-якій точці, що лежить усередині кулі на відстані r від його центру.

Підставивши цей вираз у формулу (2) і проінтегрувавши, отримаємо шукану різницю потенціалів

Відповідь : 1) φ 1 - φ 2 = 0,643 В; 2) φ 3 - φ 4 = 0,395 В

7.7. Робота та енергія електростатичного поля

7.7.1. Робота сил електростатичного поля з переміщення заряду

Роботу сил електростатичного поля можна розрахувати двома способами залежно від того, чи є поле однорідним або неоднорідним.

У однорідному електростатичному поліробота сил поля щодо переміщення заряду q визначається формулою

A = (F → , r →) = F → ⋅ r → = F r cos α ,

де F → - сила, що діє на заряд q з боку поля, F → = q E → ; q – заряд; E → - напруженість поля; Δr → - переміщення заряду; α - кут між векторами F → ​​і r → ;

В однорідному полі сила, що діє на заряд, є постійною величиною, тому що вектор E → має однакове значення та напрямок у будь-якій точці поля).

При переміщенні електричного заряду:

• вздовж силової лінії електростатичним полем відбувається максимальна позитивнаробота -

A = q E Δ r cos 0 ° = q E Δ r ;

• протилежно силовий лінії електростатичним полем відбувається максимальна негативнаробота -

A = q E Δ r cos 180 ° = − q E Δ r ;

• перпендикулярно до силової лінії електростатичним полем робота не відбувається -

A = q E Δ r cos 90 ° = 0 .

В будь-якому ( у тому числі в неоднорідному) електростатичному поліробота сил поля не залежить від траєкторії переміщення заряду і може бути розрахована за формулою

A = q (φ 1 − φ 2),

де 1 - потенціал точки поля, в якій заряд q знаходився в початковий момент часу; φ 2 - потенціал точки поля, де заряд q виявився в результаті переміщення.

При переміщенні електричного заряду еквіпотенційною поверхнею (φ 1 = φ 2) електростатичним полем робота не здійснюється:

A = q (φ 1 - φ 2) = 0.

У будь-якому електростатичному полі (однорідному та неоднорідному) робота з переміщення електричного заряду може бути розрахована графічно як площа трапеції (рис. 7.23) за графіком залежності проекції сили на напрямок переміщення F r (r ).

Мал. 7.23

Приклад 21. Яку роботу здійснить однорідне електростатичне поле напруженістю 300 В/м при переміщенні заряду 5,00 мкКл на 50,0 мм у напрямку, що становить кут 120° із напрямком силових ліній?

Рішення . На малюнку показані лінії вектора напруженості однорідного електростатичного поля E → і заряд q, що переміщується в даному полі. Переміщення заряду відбувається з точки 1 до точки 2 .

Робота сил однорідного електростатичного поля щодо переміщення точкового заряду визначається формулою

A = Q E | Δr → | cos α

де q - заряд, що здійснює переміщення у вказаному полі; E – модуль вектора напруженості поля; | Δr → | - Величина переміщення; α - кут між напрямками векторів напруженості та переміщення.

Кут між векторами E → і r → становить 120°, тому

A = Q E | Δr → | cos 120° = − 0,5 q E | Δr → | .

Розрахунок дає значення

A = −0,5 ⋅ 5,00 ⋅ 10 −6 ⋅ 300 ⋅ 50,0 ⋅ 10 −3 =

= −37,5 ⋅ 10 −6 Дж = −37,5 мкДж.

При переміщенні заряду у вказаному напрямку відбувається негативна робота –37,5 мкДж, оскільки кут між напрямом силових ліній та напрямом переміщення є тупим.

Приклад 22. Точковий заряд 3 мкКл розташований на початку прямокутної системи координат xOy де x і y задані в метрах. Яку роботу здійснює електростатичне поле, утворене даним зарядом, при переміщенні іншого точкового заряду 2 мкКл з точки (5; 0) до точки (0; 5)? Система зарядів перебуває у вакуумі.

Рішення . На малюнку показані лінії вектора напруженості електростатичного поля E → , утвореного позитивним точковим зарядом Q , розташованим на початку системи координат. Переміщення Δ r → іншого точкового заряду q походить з точки з координатами (5; 0) до точки з координатами (0; 5).

Електростатичне поле, утворене точковим зарядом, є неоднорідним. Тому для обчислення роботи сил поля використовуємо формулу

A = q (φ 1 − φ 2),

де q - заряд, що переміщується в полі; φ 1 - потенціал електростатичного поля, утвореного зарядом Q у точці (5; 0); φ 2 - потенціал електростатичного поля, утвореного зарядом Q у точці (0; 5).

Потенціал електростатичного поля, утвореного зарядом Q, задається такими виразами:

• для точки (5; 0) -

φ 1 = k Q r 1 ,

де k - Коефіцієнт пропорційності, k = 9 ⋅ 10 9 Н ⋅ м 2 /Кл 2 ; r 1 – відстань від заряду Q до точки з координатами (5, 0), r 1 = 5 м;

• для точки (0; 5) -

φ 2 = k Q r 2 ,

де r 2 - Відстань від заряду Q до точки з координатами (0, 5), r 2 = 5 м.

З урахуванням виразів для потенціалів формула для обчислення роботи набуває наступного вигляду:

A = q (k Q r 1 − k Q r 2) = k q Q (1 r 1 − 1 r 2) .

Підстановка числових даних дає результат:

A = 9 ⋅ 10 9 ⋅ 3 ⋅ 10 − 6 ⋅ 2 ⋅ 10 − 6 ⋅ (1 5 − 1 5) = 0 .

При переміщенні заряду між точками із зазначеними координатами електростатичне поле не здійснює роботу, оскільки точки знаходяться на однаковій відстані від заряду, що створює це поле.

Про всяк заряд, що у електричному полі, діє сила, і тому під час руху заряду на полі відбувається певна робота. Ця робота залежить від напруженості поля у різних точках та від переміщення заряду. Але якщо заряд описує замкнуту криву, т. е. повертається у вихідне становище, то виконувана у своїй робота дорівнює нулю, хоч би як було складно полі і з якою б примхливою кривою не відбувалося рух заряду.

Це важливе властивість електричного поля потрібно пояснити. Для цього розглянемо спочатку рух тіла у полі сили тяжіння. Робота, як знаємо (див. тому I), дорівнює добутку сили на переміщення і косинус кута з-поміж них: . Якщо цей кут гострий (), то робота позитивна, а якщо кут тупий (), то робота негативна. У першому випадку ми отримуємо роботу за рахунок дії сили, у другому – витрачаємо роботу на подолання цієї сили. Уявімо, що у полі земного тяжіння, т. е. у просторі поблизу земної поверхні, де діє гравітаційна сила тяжіння Землі, переміщається якесь тіло.

Ми припускаємо, що при цьому переміщенні немає тертя, тому тіло не зазнає змін стану, які можуть супроводжуватися змінами його внутрішньої енергії: тіло не нагрівається, не розпадається на частини, не змінює свого агрегатного стану, не відчуває пластичної деформації і т.д. У разі всяке переміщення тіла на полі сили тяжкості може супроводжуватися лише зміною потенційної і кінетичної енергії. Якщо тіло опускається, то потенційна енергія системи Земля зменшується, а кінетична енергія тіла відповідно збільшується; навпаки, при підйомі тіла відбувається зростання потенційної енергії та одночасно зменшення кінетичної енергії. При цьому повна механічна енергія, тобто сума потенційної та кінетичної, залишається постійною (див. том I). Хоч би як був складний шлях тіла в полі сили тяжіння (підйом і опускання по вертикальній, похилій або криволінійній траєкторії, пересування по горизонтальному напрямку), але якщо зрештою тіло приходить у вихідну точку, тобто описує замкнутий шлях, то система Земля-тіло повертається у вихідне положення і має ту саму енергію, якою вона мала до початку переміщення тіла. Це означає, що сума позитивних робіт, виконаних силою тяжіння при опусканні тіла, дорівнює за модулем сумі негативних робіт, виконаних силою тяжіння на ділянках шляху, що відповідають підйому тіла. Тому алгебраїчна сума всіх робіт, що здійснюються силою тяжіння на окремих ділянках шляху, тобто повна робота на замкнутому шляху дорівнює нулю.

З викладеного ясно, що наш висновок справедливий лише в тому випадку, якщо в процесі брала участь лише сила тяжіння і була відсутня сила тертя та всілякі інші сили, які можуть викликати зазначені вище зміни внутрішньої енергії. Таким чином, сили гравітаційного поля, на відміну від багатьох інших сил, наприклад сил тертя, мають властивість, яку ми можемо сформулювати так: робота, що здійснюється гравітаційними силами при переміщенні тіла замкнутим шляхом, дорівнює нулю. Неважко бачити, що ця властивість гравітаційних сил є виразом закону збереження (консервації) повної механічної енергії. У зв'язку з цим силові поля, які мають зазначену властивість, називають консервативними.

Подібно до гравітаційного поля, електричне поле, створюване електричними зарядами, що покоїться, також є консервативним. Коли в ньому переміщується заряд, то на тих ділянках шляху, де напрямок переміщення складає з напрямком сили гострий кут (наприклад, у точці на рис. 38), робота, що здійснюється силами поля, позитивна. Навпаки, там, де напрямок переміщення становить із напрямком сили тупий кут (у точці ), робота сил електричного поля негативна. Коли заряд, пройшовши замкненим шляхом, повернеться у вихідну точку, повна робота електричних сил цьому шляху, що є алгебраїчну суму позитивних робіт на одних ділянках і негативних інших, дорівнює нулю.

Мал. 38. На доказ незалежності роботи сил електричного поля від форми шляху

Суворий математичний доказ консервативності електричного поля у випадку досить складно, і ми обмежимося тому доказом цієї властивості поля для найпростішого випадку – поля, створюваного одним точковим зарядом.

Нехай в електричному полі нерухомого точкового заряду інший заряд рухається вздовж довільної замкнутої кривої 1-2-3-4-5-6-1 (рис. 38) і після обходу вздовж кривої повертається у вихідну точку 1. Для підрахунку роботи проведемо при цьому роботи подумки ряд сфер з центром в заряді , які розіб'ють весь шлях заряду на малі відрізки, і розглянемо два відрізки і , що лежать між тими самими сферами (між точками 2 і 3, 5 і 6). Якщо відрізки і досить малі, можна вважати, що сила, що діє на заряд , всіх точках кожного з відрізків постійна. Так як обидва відрізки знаходяться на рівних відстанях від заряду , то, згідно із законом Кулона, сили взаємодії зарядів на обох відрізках однакові за модулем, але відрізняються напрямом, утворюючи різні кути і з напрямком переміщення. Нарешті, при достатній дрібниці і ці відрізки можна вважати прямолінійними. Тому робота , здійснювана електричними силами по дорозі 2-3, дорівнюватиме добутку сили на переміщення і косинус кута між напрямами сили та переміщення, тобто.

.

Так само робота , що здійснюється на шляху 5-6, дорівнює

.

Але , так що . Крім того, з креслення видно, що

,

де - Відстань між сферами, що укладають відрізки і . Тому ми знаходимо, що

тобто алгебраїчна сума робіт на відрізках 2-3 і 5-6 дорівнює нулю. Такий самий результат ми отримаємо і для будь-якої іншої пари відповідних відрізків шляху, укладених між іншими сферами. Тому і повна робота при обході по замкнутому контуру, що дорівнює сумі робіт на окремих відрізках, теж дорівнюватиме нулю.

Ми отримали результат для випадку електричного поля одного точкового заряду. Він виявляється справедливим для будь-якого електростатичного поля, тобто поля, створеного нерухомими зарядами, оскільки поле, створюване будь-яким розподілом заряду, можна звести до поля сукупності точкових зарядів.

Отже, в електричному полі робота при переміщенні заряду по замкнутому контурі завжди дорівнює нулю.

Так як робота на шляху 1-2-3-4-5-6-1 дорівнює нулю, то, отже, робота на шляху 1-2-3-4 дорівнює модулю і протилежна за знаком роботи на шляху 4-5-6 -1. Але робота при переміщенні заряду на шляху 4-5-6-1 дорівнює модулю і протилежна за знаком роботи при переміщенні того ж заряду в зустрічному напрямку, тобто по шляху 1-6-5-4. Звідси випливає, що робота на шляху 1-2-3-4 (рис. 38) має той самий модуль і знак, що й робота на шляху 1-6-5-4. Так як обраний криволінійний контур цілком довільний, то отриманий результат можна висловити ще й так: робота, що здійснюється електричними силами при переміщенні заряду між двома точками в електричному полі, не залежить від форми шляху. Вона визначається лише положенням початкової та кінцевої точок шляху.

20.1. Вкажіть якомога більше рис подібності та відмінності між електричним та гравітаційним полями.

Коли пробний заряд q переміщається в електричному полі, можна говорити про роботу, яка здійснюється в даний момент електричними силами. Для малого переміщення ∆ l → формулу роботи можна записати так: ∆ A = F · ∆ l · cos α = E q ∆ l cos α = E l q ∆ l .

Малюнок 1 . 4 . 1 . Мале переміщення заряду та робота, що здійснюється в даний момент електричними силами.

Тепер подивимося, яку роботу з переміщення заряду виконують сили в електричному полі, яке створюється розподіленим зарядом, що не змінюється в часі. Таке поле ще називають електростатичним. Він має важливу властивість, про яку ми поговоримо в цій статті.

Визначення 1

При переміщенні заряду з однієї точки електростатичного поля в іншу робота сил електричного поля залежатиме тільки від величини цього заряду і положення початкової і кінцевої точки в просторі. Форма траєкторії у своїй немає значення.

Гравітаційне поле має таку саму властивість, що не дивно, оскільки співвідношення, за допомогою яких ми описуємо кулонівські та гравітаційні сили, однакові.

Виходячи з того, що форма траєкторії не має значення, ми можемо також сформулювати таке твердження:

Визначення 2

Коли заряд в електростатичному полі переміщається будь-якою замкненою траєкторією, робота сил поля дорівнює 0 . Поле, що має таку властивість, називається консервативним, або потенційним.

Нижче наведено ілюстрацію силових ліній у кулонівському полі, утворених точковим зарядом Q , а також дві траєкторії переміщення пробного заряду q в іншу точку. Символом ∆ l → на одній із траєкторій позначається мале переміщення. Запишемо формулу роботи кулонівських сил на ньому:

∆ A = F ∆ l cos α = E q ∆ r = 1 4 π ε 0 Q q r 2 ∆ r .

Отже, залежність існує тільки між роботою та відстанню між зарядами, а також їх зміною r. Проінтегруємо цей вираз на інтервалі від r = r 1 до r = r 2 і отримаємо наступне:

A = ∫ r 1 r 2 E · q · d r = Q q 4 π ε 0 1 r 1 - 1 r 2 .

Малюнок 1 . 4 . 2 . Траєкторії переміщення заряду та робота кулонівських сил. Залежність від відстані між початковою та кінцевою точкою траєкторії.

Результат застосування цієї формули не залежатиме від траєкторії. Для двох різних траєкторій переміщення заряду, вказаних на зображенні, роботи кулонівських сил будуть рівними. Якщо ж ми змінимо напрямок на протилежний, то й робота також змінить знак. Якщо ж траєкторії будуть з'єднані, тобто. заряд переміщатиметься замкнутою траєкторією, то робота кулонівських сил буде нульовою.

Згадаймо, як створюється електростатичне поле. Воно є поєднанням точкових розрядів. Отже, згідно з принципом суперпозиції, робота результуючого поля, що здійснюється при переміщенні пробного заряду, дорівнюватиме сумі робіт кулонівських полів тих зарядів, з яких складається електростатичне поле. Відповідно, величина роботи кожного заряду не залежатиме від того, якої форми траєкторія. Значить, і повна робота не залежатиме від шляху – важливе лише місце розташування початкової та кінцевої точки.

Оскільки електростатичне поле має властивість потенційності, ми можемо додати нове поняття – потенційна енергія заряду в електричному полі. Виберемо якусь точку, помістимо до неї розряд і приймемо його потенційну енергію за 0 .

Визначення 3

Потенційна енергія заряду, поміщеного в будь-яку точку простору щодо нульової точки, дорівнюватиме тій роботі, яка здійснюється електростатичним полем при переміщенні заряду з цієї точки в нульову.

Позначивши енергію як W , а роботу, яку виконує заряд, як A 10 , запишемо таку формулу:

Зверніть увагу, що енергія позначається саме літерою W , а не E , оскільки електростатики E – це напруженість поля.

Потенційна енергія електричного поля є певною величиною, яка залежить від вибору точки відліку (нульової точки). На перший погляд у такому визначенні є помітна неоднозначність, проте на практиці вона зазвичай не викликає непорозумінь, оскільки сама по собі потенційна енергія фізичного сенсу не має. Важлива лише різниця її значень у початковій та кінцевій точці простору.

Визначення 4

Щоб обчислити роботу, яка здійснюється електростатичним полем при переміщенні точкового заряду з точки 1 в точку 2 потрібно знайти різницю значень потенційної енергії в них. Шлях переміщення та вибір нульової точки значення при цьому не мають.

A 12 = A 10 + A 02 = A 10 - A 20 = W p 1 - W p 2 .

Якщо ми помістимо заряд q в електростатичне поле, його потенційна енергія буде прямо пропорційна його величині.

Поняття потенціалу електричного поля

Визначення 5

Потенціал електричного поля- Це фізична величина, значення якої можна знайти, розділивши величину потенційної енергії електричного заряду в електростатичному полі на величину цього заряду.

Він позначається буквою φ. Це найважливіша енергетична характеристика електростатичного поля.

Якщо ми помножимо величину заряду на різницю потенціалів початкової та кінцевої точки переміщення, то ми отримаємо роботу, що здійснюється при цьому переміщенні.

A 12 = W p 1 - W p 2 = q φ 1 - q φ 2 = q (φ 1 - φ 2) .

Потенціал електричного поля вимірюється у вольтах (В).

1 В = 1 Дж 1 К л.

Різниця потенціалів у формулах зазвичай позначається Δ φ.

Найчастіше при вирішенні завдань на електростатику як нульова береться якась нескінченно віддалена точка. З огляду на це ми можемо переформулювати визначення потенціалу так:

Визначення 6

Потенціал електростатичного поля точкового заряду в деякій точці простору дорівнюватиме тій роботі, яка здійснюється електричними силами тоді, коли одиничний позитивний заряд видаляється з цієї точки в нескінченність.

φ ∞ = A ∞ q.

Щоб обчислити потенціал точкового заряду з відривом r , де розміщується нескінченно віддалена точка, потрібно використовувати таку формулу:

φ = φ ∞ = 1 q ∫ r ∞ E d r = Q 4 π ε 0 ∫ r ∞ d r r 2 = 1 4 π ε 0 Q r

За допомогою неї також можемо знайти потенціал поля однорідно зарядженої сфери або кулі при r ≥ R , що випливає з теореми Гауса.

Щоб наочно зобразити електростатичні поля, крім силових ліній використовуються поверхні, які називаються еквіпотенційними.

Визначення 7

Еквіпотенційна поверхня (поверхня рівного потенціалу)- Це така поверхня, у якої у всіх точках потенціал електричного поля однаковий.

Еквіпотенційні поверхні та силові лінії на зображенні завжди знаходяться перпендикулярно одна одній.

Якщо маємо справу з точковим зарядом у кулонівському полі, то еквіпотенційні поверхні у разі є концентричними сферами. На зображенні нижче показані прості електростатичні поля.

Малюнок 1 . 4 . 3 . Червоним показано силові лінії, а синім – еквіпотенційні поверхні простого електричного поля. На першому малюнку зображено точковий заряд, на другому – електричний диполь, на третьому – два рівні позитивні заряди.

Якщо поле однорідне, його еквіпотенційні поверхні є паралельними площинами.

У разі малого переміщення пробного заряду q вздовж силової лінії з початкової точки 1 кінцеву точку 2 ми можемо записати таку формулу:

Δ A 12 = q E Δ l = q (φ 1 – φ 2) = – q Δ φ ,

де Δ φ = φ 1 - φ 2 – зміна потенціалу. Звідси виводиться, що:

E = - ∆ φ ∆ l , (∆ l → 0) або E = - d φ d l .

Це співвідношення передає зв'язок між потенціалом поля та його напруженістю. Літерою l позначено координату, яку слід відраховувати вздовж силової лінії.

Знаючи принцип суперпозиції напруженості полів, що створюються електричними розрядами, ми можемо вивести принцип суперпозиції для потенціалів:

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 +. . .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter