Урок теорема про пряму перпендикулярній площині. Пряма, перпендикулярна до площини

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

На початку вивчення сьогоднішньої теми, ми розберемо завдання на застосування деяких теорем про перпендикулярність прямих і площин

Згадаймо їх: Перша теорема Ознака перпендикулярності прямої і площини

Якщо пряма перпендикулярна двом пересічним прямим лежачим в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

І дві теореми про паралельні прямі пряма теорема. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини.

І зворотна теорема. Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, то вони паралельні. Доказ цих теорем ми вже з вами розбирали.

Довести, що через будь-яку точку простору проходить площину, перпендикулярна даній прямій.

Для вирішення розглянемо пряму а, і довільну точку простору -точку М. Доведемо, що існує площина, що проходить через точку М і перпендикулярна до прямої а.

Для доказу проведемо дві площини α і β містять пряму а, так як це їх спільна пряма, значить пряма а їхня лінія перетину.

У площині β через точку М проведемо пряму b перпендикулярну до прямої а. нехай ці прямі перетинаються в точці О.

В площині α проведемо пряму с, що проходить через точку О і перпендикулярну прямий а.

По теоремі про існування площини, а саме через дві перетинають прямі в і з можна провести площину і при тому тільки одну.

Розглянемо площину γ (гамма), що проходить через прямі с і b.

Площина γ (гамма) буде шуканої площиною, так як пряма а перпендикулярна двом пересічним прямим в і з

Дане завдання демонструє існування площині перпендикулярній даної прямої. Розглянемо теорему, яка стверджує про існування та єдність прямої перпендикулярної до даної площини.

Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини, і до того ж тільки одна.

Розглянемо площину α і довільну точку простору - точку А.

Доведемо, що через точу А проходить єдина пряма, перпендикулярна до даної площини.

1,2) Отже, проведемо в площині α довільну пряму m. Побудуємо площину так що б вона проходила через точку А перпендикулярно до прямої m.

3,4) Нехай площину α і β перетинаються по прямій n. У площині β, через точку А проведемо пряму р, перпендикулярно прямий n.

5) Пряма т, перпендикулярна площині β, значить перпендикулярна будь-якої прямої в цій площині, тобто пряма т перпендикулярна прямий р.

6) Тоді пряма p перпендикулярна двом пересічним прямим m і n, що лежать в площині α, отже за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма p перпендикулярна площині α.

7) Важливо розуміти, що така пряма може бути тільки одна. Якби через точку А проходило дві прямих, наприклад, ще пряма p1, перпендикулярна площині α. Але дві прямі перпендикулярні одній площині паралельні, що суперечить нашим припущенням. Таким чином, через точку простору проходить тільки одна пряма перпендикулярна даній площині.

Це твердження в геометрії носить назву теореми про прямий, перпендикулярної до площини.

Через вершини А і В прямокутника АВСD проведено паралельні прямі АА1 і ВВ1 що не лежать в площині прямокутника. Відомо, що Аа1 АВ і Аа1 АD. Знайдіть ВВ1, якщо В1D \u003d 25 см, АВ \u003d 12 см, AD \u003d 16 см.

Решеніе.1) Так як пряма Аа1 перпендикулярна двом пересічним прямим AD і АВ лежить в площині прямокутника, то ознакою

перпендикулярності прямої до площини Аа1 перпендикулярна до площини АВС.

2) Пряма ВВ1 паралельна прямій Аа1 отже по теоремі і пряма ВВ1 перпендикулярна до площини АВС, і перпендикулярна будь-якої прямої лежить в цій площині, тобто ВВ1 перпендикулярна до прямої ВD. Значить трикутник В1ВD прямокутний.

3) З прямокутного трикутника ВAD по теоремі Піфагора квадрат гіпотенузи BD дорівнює сумі квадратів катетів АВ і AD і BD дорівнює 20 см.

4) За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника В1ВD. Квадрат катета В1В дорівнює різниці квадратів гіпотенузи В1D і відомого катета BD, і катет дорівнює 15 см.

Розглянемо задачу на доказ.

Пряма а перпендикулярна до площини α і перпендикулярна до прямої b, що не лежить у цій площині. Доведіть, що b ||

Назвемо точку заходу прямої і площини-точкою М.

1,2) Відзначимо на прямий а деяку точку N не лежить на прямій b. Через точку що не лежить на даній прямій можна провести єдину пряму паралельну даній. Нехай цієї прямої буде пряма b1.

3) Через точку N проведемо пряму з1.

4) Через точку М в площині α проведемо пряму з паралельну прямий з1.

5) Через дві перетинають прямі з1 і b1 можна провести площину β відповідно до теореми про існування площині.

6) Пряма а перпендикулярна за умовою площині α, значить перпендикулярна прямий с, що лежить в площині, але з паралельна прямій з1, отже пряма а перпендикулярна прямий з1.

7,8) Аналогічно пряма а перпендикулярна прямий b за умовою, пряма b паралельна прямій b1, отже, пряма а перпендикулярна прямий b1. Значить пряма а, по ознакою перпендикулярності прямої і площини, перпендикулярна площині β.

9) Площини α і β перпендикулярні прямий а, значить вони паралельні.

10) Пряма b паралельна прямій b1, значить вона паралельна площині β, і паралельна площині α.

Ознака перпендикулярності прямої і площини Теорема. Якщо пряма перпендикулярна двом пересічним прямим, лежачим в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Теорема. Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини і до того ж тільки одна. Доведення. Побудова. 1. 2. 3. 1. 2. () 4., 5. 6., 3. 4., Припустимо,. ,. Припущення не так, єдина пряма перпендикулярна до. Що і треба було довести.

Через будь-яку точку простору проходить площину, перпендикулярна до даної прямої і притому тільки одна. Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини і до того ж тільки одна.

Завдання. квадрат, точка перетину діагоналей. . Довести: а); б). Доведення. Що й потрібно було довести. 1. 2. (властивість діагоналей квадрата) 3., 4. 5. 6.

Завдання. Довести, що якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до прямої, то й інша площина перпендикулярна до цієї прямої. Доведення. Що й потрібно було довести. , 1., 2., 3. 4., 5. 6., 7., 8. 9.

Завдання. Довести, що якщо дві площини перпендикулярні до однієї прямої, то дані площини паралельні. Доведення. Що й потрібно було довести. 1. 2. 3., 4. Припустимо:,. В !? Припущення не так. 5.,

Теорема про прямий перпендикулярної до площини Теорема. Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини і до того ж тільки одна. Якщо одна з двох паралельних площин перпендикулярна до прямої, то й інша площина перпендикулярна до цієї прямої. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї прямої, то дані площини паралельні.

На цьому уроці ми розглянемо і доведемо теорему про єдиною прямою, перпендикулярної площині.
На початку уроку сформулюємо досліджувану теорему про існування єдиної прямої, що проходить через дану точку і перпендикулярної до даної площини. Для її докази спочатку розглянемо і доведемо твердження про існування площини, перпендикулярної до даної прямої. Після доведення теореми ми розглянемо кілька задач-наслідків на досліджувану тему.

Тема: Перпендикулярність прямої і площини

Урок: Теорема про прямий, перпендикулярної до площини

На цьому уроці ми розглянемо і доведемо теорему про єдиною прямою, перпендикулярної площині.

затвердження

Через будь-яку точку простору проходить площину, перпендикулярна до даної прямої.

Доведення(Див. Рис. 1)

Нехай нам дана пряма аі крапка М. Доведемо, що існує площина γ, яка проходить через точку М і яка перпендикулярна прямий а.

через пряму а проведемо площини α і β так, що точка М належить площині α. Площині α і β перетинаються по прямій а. В площині α через точку М проведемо перпендикуляр MN (або р) До прямої а,. У площині β з точки N відновимо перпендикуляр q до прямої а. прямі р і q перетинаються, нехай через них проходить площину γ. Отримуємо, що пряма а перпендикулярна двом пересічним прямим р і q з площини γ. Значить, за ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма а перпендикулярна площині γ.

теорема

Через будь-яку точку простору проходить пряма, перпендикулярна до даної площини, і до того ж тільки одна.

Доведення.

Нехай дана площину α і точка М(Див. Рис. 2). Потрібно довести, що через точку М проходить єдина пряма з, Перпендикулярна площині α .

проведемо пряму а в площині α (див. рис. 3). Згідно доведеному вище твердженням, через точку М можна провести площину γ перпендикулярну прямий а. нехай пряма b- лінія перетину площин α і γ.

У площині γ через точку М проведемо пряму з, Перпендикулярну прямий b.

пряма з перпендикулярна b з побудови, пряма з перпендикулярна а(Так як пряма а перпендикулярна площині γ, а значить, і прямий с,лежить в площині γ). Отримуємо, що пряма з перпендикулярна двом пересічним прямим з площини α. Значить, за ознакою перпендикулярності прямої і площини, пряма з перпендикулярна площині α. Доведемо, що така пряма з єдина.

Припустимо, що існує пряма з 1, що проходить через точку М і перпендикулярна площині α. Отримуємо, що прямі з і з 1 перпендикулярні площині α. Значить, прямі з і з 1 паралельні. Але з побудови прямі з і з 1 перетинаються в точці М. Отримали протиріччя. Значить, існує єдина пряма, що проходить через точку М і перпендикулярна площині α, що й треба було довести.

Доведіть, що якщо дві площини α і β перпендикулярні до прямої а, То вони паралельні.

Доведення:

проведемо пряму з паралельно прямий а. За лемі, якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й інша пряма теж перетинає площину. пряма а перетинає площині α і β за умовою. значить пряма з перетинає площину α в деякій точці А і площину β в точці В.

пряма а перпендикулярна площинам α та β, а значить і паралельна їй пряма зперпендикулярна площинам α та β.

Припустимо, що площині α і β перетинаються. Точка, крапка М - загальна точка площин α і β. Але тоді в трикутнику АМВ кут МАВ дорівнює 90 ° і кут АВМ дорівнює 90 °, що неможливо. Значить, припущення про те, що площині α і β перетинаються було невірним. Значить, площини α і β паралельні.

Доведіть, що через будь-яку точку простору проходить тільки одна площина, перпендикулярна даній прямій.

Доведення:

Нехай дана пряма а і крапка М. Відповідно до твердження, існує площину γ, що проходить через точку М, Перпендикулярна прямий а. Доведемо її єдиність.

Припустимо, що існує площина γ 1, що проходить через точку М, Перпендикулярна прямий а. Дві площини γ і γ 1 перпендикулярні одній і тій же прямій а,а значить, площини γ і γ 1 паралельні (як ми довели в завданні 1). але точка М належить і площини γ і γ 1. Отримали протиріччя. Значить, через будь-яку точку простору проходить тільки одна площина, перпендикулярна даній прямій а, що й потрібно було довести.

Отже, ми довели теорему про прямий, перпендикулярної до площини. На наступному уроці ми розглянемо рішення задач з такими прямими.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с. : Ил.

2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. - М .: Дрофа, 1999. - 208 с .: іл.

3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх установ з поглибленим і профільним вивченням математики / Е. В. Потоскуев, Л. І. Зваліч. - 6-е видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. : Ил.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий і профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене і доповнене - М .: Мнемозина, 2008. - 288 с .: іл.

Завдання 15, 16, 17 стр. 58

2. Чи вірно твердження, що пряма перпендикулярна лежачим в цій площині:

а) двом сторонам трикутника

б) двом сторонам трапеції

в) двом діаметрам кола.

3. Доведіть, що через будь-яку точку прямої в просторі можна провести дві різні перпендикулярні їй прямі.

4. Прямі а,b, з лежать в площині α. пряма m перпендикулярна прямим а і b, Але не перпендикулярна з. Яке взаємне розташування прямих а і b?